344 Ernst Schröder, [44] 



für kein noch so grosses X Gleichheit anstelle dei" Beziehung < einspringen 

 kann. Der Beweis für seine Richtigkeit ist durch die wohlfundirte Theorie 

 der Grenzwerte geliefert. 



Und ebenso ist der Beweis für die Richtigkeit des unsrigen mit den 

 von uns vollzognen Grenzenübergängen in aller Form geleistet. 



Auch unsre Figur, in der man jenen paradoxen Uebergang greifbar 

 sehen kann, Hesse sich als Exemplifikation noch weiter ausbeuten. — 



Dürfen wir nunmehr als mächtiges Beweiskapital die C an tor 'sehen 

 Sätze B und C benützen, so werden wir wie folgt am besten in der Theorie 

 fortfahren. 



Sofort leuchtet ein der Cantor'sche Satz £ in unsrer bessern Form: 



61) yö ^ £ 



oder J:(a ~ d C ^) ^(& ~ c C «)' = -^(« <- (? C ^ '^ f C «) =€ (« ~ ^)' 



indem dies analytisch daraus hervorgeht, dass nach 25) (oder B) schon 

 jedes Glied der Doppelsumme =^(a~6) sein muss. Die Konklusion aus 

 dem allgemeinen Gliede würde nämlich nach genanntem Schema lauten: 

 (a r^ 6 ~ fZ ,^ c ~ a) was = (« ~ Z>) (?» ,^ f? ~ c ~ «) und folglich =^ (« ~ b) ist ge- 

 mäss dem allgeläufigen Schema aß=^a- Ja man sieht, dass die Sätze £ 

 imd B imgrunde identisch sind, wie dies aiich aus dem Wortlaut von 61) 

 einleuchtet, den wir nur dahin formuliren können: Ist von zwei Mengen 

 eine jede gleichmächtig mit einer Untermenge der andern, so 

 müssen sie selbst gleichmächtig sein. 



Hiernach können wir jetzt meinen vorerwähnten Satz aufnehmen: 



62) (a=$6)=^(a^b), {aCb)^ia£b), 



den bislang noch nicht gebrauchen zu dürfen den Forscher sehr geniren 

 mu.sste. Da dessen erster Ausdruck sich ja für den Fall der Gleichheit 

 mit {a^h)=^{a = b) aus 37) oder (a^=b) = {a = h) von selbst versteht, so ist 

 der Kern dieses Satzes in seinem zweiten Ausdrucke zu erblicken, inbetretf 

 dessen jedoch betont werden muss, dass als seine Konklusion nicht etwa 

 (Q < b) geschrieben werden darf, sintemal bekannt , dass eine unendliche 

 Menge b auch gl eich mächtig sein kann mit einer Untermenge a ihrerselbst. 



