[45] Ueber . . . G. Cantor'sche Sätze. 345 



Beweis des Satzes. Zu zeig-eii ist, d&ss {aC.l)-^£ + Y6= {£ + y){s + 6} 

 was in {aCih)^t + 6 imd {a(;^b)^F. + y zerfällt. Die erstere Behauptimg 

 folgt a fortiori aus (a(^h)=^ö — indem rf,= -^(a~Jr^) wegen der Prä- 



d 



misse und 16) sieh für d=^a als erfüllt erweist. Mit letztrer Subsumtion 

 ist aber nacli einem äusserst häufig gebrauchten Schema, das ich in meinem 

 Werke noch stets als „Theorem von Robert Grassmann" bezeichnete, 

 inbezug auf das ich aber Herrn Peano die Belebrung verdanke, dass es 

 bereits von Leibniz gegeben worden (Difficultates quaedam logicae, p. 102 

 in den Leibnitii Opera philosophica, Edit. J. E. Erdmann, Berolini, 1840 — 

 vergl. das Formulaire de Matli. t. 1, p. 128) 



63) (« + ß = ß) = (a^ ß) = (« = aß) 



— nach dem letzten dieser Schemata ist, sage ich, die Gleichung gesichert: 

 (fl, (^b):=^{aCib) 6, und somit kommt die zweite Behauptung hinaus auf (a d b)6 =4 

 =^£ + 7 oder {aCib)yö^f:, was aus 61) a fortiori folgt, q. e. d. 



Die Mächtigkeit einer Teilmenge ist hienach in der That 

 nie grösser wie die des Ganzen. 



Den Satz 61) können wir auch mit 41) zusammenfassen zu 



64) syd + työ + työ = 



und mit Rücksicht hierauf beweist man leicht, dass: 



65) yö =: £0, yd = /£, 



zu welchem Ende man in der That weiter nichts zu thun hat, als diese 

 behaupteten Gleichungen rechts auf zu bringen. Dies lässt erkennen, 

 dass die Cantor'sche Definition des , Grösser' und .Kleiner' bei Mächtig- 

 keiten auch ganz anders wie in 38), 43), und zwar wie folgt hätte gefasst 

 werden können : Man hätte a als < 6 für den Fall hinstellen können, wo 

 b gleichmächtig ist einer Untermenge von « ohne doch mit dieser Menge 

 a selbst gleichmächtig zu sein! 



Die Frage: wie sich alsdann die fundamentalen Sätze von 38) bis 

 zum Ende der Theorie beweiskräftig ergeben würden, ob minder leicht, 

 oder bequemer, darf wol als Thema zu einer interessanten Untersuchung 

 empfohlen werden. 



Da ferner -^ a -\- y ^^ öl -\- £ -\-~ty nach bekanntestem Schema: « + ^ = 

 =^a-\-aß = aß-\-ß sein muss, so haben wir nach 65) auch 



