[51] Ueber . . . G. Cantor'sche Sätze. 351 



Denkbereiches l^ wonach das eine / zu gelten habe als „von niedrerem 

 Range" wie das andre j, lässt sich darstellen in der Gestalt: 



78) ii<j) = {l^x;j)==xtj 



WO a; ein binäres Relativ vorstellt. Denn ein solches ist jede Art von 

 Beziehung zwischen zwei und immer nur zwei Objekten darzustellen fähig, 

 und darf aus meinem Bd. 3, § 4 als bekannt vorausgesetzt werden, wie sich 

 in jedem Falle die Matrix solchen Relativs bestimmt. Dieses Relativ x 

 wird als das „Gesetz" oder „Prinzip der (in Rede stehenden Rang-) 

 Ordnung" zu bezeichnen sein. 



Dies vorausgesetzt setzt sich für eine Menge fl;l = «=ai-0 der 

 Begritf der „einfachen Ordnung" aus folgenden drei Merkmalen zusammen, 

 die ich, zuerst in der Zeichensprache eingehend formulirt, hinstelle um sie 

 sogleich in ihre einfachsten Ausdrucksformen zu verdichten und textlich 

 erst nachher zu erläutern. 



1") . /4 I ('■ + J =4 «) (« ^ ^; j) ^{j^X-j)}:= Dij («, f «, + Xij + Xj,) = 



= a ^ {x + x) ^ a = {aaxx = 0) , 



2°) n„ I (/ +j^a) O'+i) =4 {i^x;j) + {j^x; /) 1 , = 

 = IJij {üi + (ij + r,;, + Xij + a;„) = « J- (r + a; -)- a;) J- rt ^ {O'aa =^x + x). 



3") i7„, ! (/ + h +j^a) ii ^ x; h) {h ^ x; j) ^ {i =^x;j)],= 

 = i7,7y (ö, + a,, + üj + x,H + Xhj + Xi^ = a J- {a: + a; J- (a -f a;) ) J- a = 

 ^ (ff« . x; ax=^x). 



Das erste Merkmal fordert, dass wenn von zwei Elementen i und ; 

 von a dass eine ; als -<j;" gilt, dann allemal die umgekehrte Beziehung j-<e 

 nicht gelten dürfe. 



Das zweite Merkmal fordert, dass zwischen zwei verschiedenen 

 Elementen /, j der Menge a allemal mindestens eine der beiden folgenden 

 Beziehungen bestehen müsse, nämlich: dass entweder /-<j oder ;-</ sei. 



Das dritte Merkmal fordert, dass wenn zwischen drei Elementen /, kj 

 der Menge a die beiden Beziehungen y-<// und h'<,j bestehn, dann auch 

 diese /-<j gelten müsse, m. a. AV. dass unsre Rangordnung der Elemente 

 eine „innerhalb « transitive" Beziehung sein solle. 



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