[53] Ueber . . . G. Cantor'sche Sätze. 353 



Mithin ist analytisch bewiesen der »Satz: Ist eine Menge « durch 

 ein Prinzip x einfach geordnet, so ist auch jede Teilmenge von i_i durch 

 ebendieses Prinzip x einfach geordnet. 



Die drei Teilbcdinguugen von 79) sind sj'mnietrisch inbezug auf x 

 und X. Dies leuchtet auch für die letzte derselben ein, deren Subjekt nach 

 bekanntesten Sätzen über Systeme und Systemkonverse auch als (mx:-, aax 

 darstellbar ist, wenn man beachtet, dass dieselbe auch beiderseits konvertirt 

 angeschrieben werden kann, somit {aax\aax^x) =={aax\aax=^x) ist. Dem- 

 nach gilt: 



81) {a\ = (a)- 



d. h. wir haben den Satz: Ist eine Menge « durch x einfach geordnet, so 

 muss sie auch diirch x einfach geordnet sein. Diese Ordnung heisst die rück- 

 wärtige oder konverse, entgegengesetzte oder umgekehrte von der andern. 



Im Bisherigen ist gar nichts darüber präjudizirt, ist es völlig otfen 

 gelassen: welche Rangordnungsverhältnisse oder überhaupt Zuordnungen 

 durch unser die Menge a ordnendes Prinzip x noch ausserdem festgesetzt 

 werden inbezug auf diejenigen Elemente, die sich ausserhalb a im Denk- 

 bereiche vorfinden mögen, d. h. mitbezug auf die Elemente der Aussen- 

 menge « von «. Ueber diese kann unser die Forderungen 79) erfüllendes 

 X noch was man nur immer will, alles Erdenkliche stipuliren. Geometrisch 

 gesprochen wird durch eine bestimmt gegebene Rangordnung der P^demente 

 von a nur derjenige Teil der Matrix von x sich als bestimmt, aber völlig 

 bestimmt, erweisen, der in die Zeilen der Menge a und zugleich in die 

 Kolonnen von « hineinfällt — vergl. Bd. 3, p. 46. 554. Der Rest von x 

 bleibt dabei unbestimmt oder willkürlich. M. a. ^y. wir haben bisher das 

 ordnende Prinzip x blos als eine interne Angelegenheit der Menge a ins 

 Auge gefasst und wollen nun auch dem externen Verhalten dieses Prin- 

 zips unsre Aufmerksamkeit zuwenden. 



Oft empfiehlt es sich, das letztere bis zur Unwirksamkeit zu zügeln, 

 es gleichsam lahm zu legen, unschädlich zu machen, nämlich das bisher 

 noch sehr unbestimmt gebliebene Relativ x willkürlich weiter einzuschränken 

 durch eine Zusatzforderung die ich die Adventivbedingung nenne und 

 die darauf hinausläuft, zu verlangen, dass: 



