[591 Ueber . . . G. Cantor'sche Sätze. 359 



(Jc^x;h), was ={h=^x;lc), mithin x durch x ersetzt. Man findet nun die 

 angeführten Ergebnisse, indem man regelrecht verdichtet und das resultirende 

 ausgezeichnete Relativ in die gewöhnliche Aussagenform umsetzt. Doch 

 ist die Aequivalenz von deren letzten vier Gestalten nicht ganz leicht nach- 

 zuweisen. Die Fortsetzung meines Bd. 3 wird alles Detail der Rechnungen 

 bringen, und darf ich mir deshalb wol inbezug auf dessen Angabe hier 

 einige Zurückhaltung gestatten. 



Das niederste Element yV selbst und das höchste N hat dann 

 den Ausdruck: 



92) JV=a]{r + x):^ä\, //^a](V+x)^ä 



von dem auch rechnerisch nachweisbar, dass er wirklich die „Charakteristik 

 des Elementes" (Bd. 3, p. 408) erfüllt. Gibt es kein niederstes oder höchstes 

 Element, so verschwindet der betretfende Ausdruck. 



Bei diesen Forniulirungen haben wir von den in (a)^ oder % fest- 

 gelegten Eigenschaften 79) resp. 84) des Relativs x gar keinen Gebrauch 

 gemacht. Legt man letzteres, also «^ zugrunde, so vereinfachen sich die 

 Ergebnisse noch erheblich, und zwar zu: 



I il = ä;{i^O) = {a^x;l), fl? = «; (xj-0) = (a^x; 1), 



'^^^ I yV^=a(,riO), /7=aüiO). 



Aehnlich wie hier das niederste und höchste Element, lässt sich 

 auch das auf ein gegebnes dem Range nach „(unmittelbar) folgende" 

 Element, sofern es ein solches gibt, pasigraphisch darstellen, lässt sich der 

 Begriff „benachbarter" Elemente formuliren und anderes mehr. Es ist klar, 

 wie durch den analytischen Ausdruck jedes neu hinzukommenden Begriffes 

 durch die schon vorhandenen a, x, etc. — wozu die verbale Logik nicht 

 mehr fähig ist — der Forschung eine mächtige Beihülfe erwachsen muss. 



In dieser Hinsicht sei auch noch angeführt, dass unter den Voraus- 

 setzungen a; l = a, h\ 1=/^, ah = ^, «xj ^y, d- 'i- wenn zwei disjunkte Mengen a 

 und h (d. i. solche, die in G. Cantor's Ausdrncksweise „ohne Zusammenhang" 

 sind) durch ein Prinzip x resp. y einfach geordnet sind, dasjenige Prinzip z 

 welches die Menge a + h, aufgefasst als die Cantor'sche „Vereinigungs- 



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