[9] Die selbständige Definition der Mächtigkeiten etc. 371 



11) Oj-rt + «; (i'j-«) = rtj-i'j-«:=l; irj-ä), 



Etc. — Furineln, die sicli ixllenial auch au8 der Koeftizienteuevidenz ( Bd. 3, 

 p. 65) direkt, wenn auch oft niclit kunst- und mühelos, veritiziren lassen. 



Durch die Formulirung jener Bedingungen sind wir jedoch bereits 

 in den Stand gesetzt zunächst wenigstens für jeden Denkbereich, der nicht 

 mehr wie sechs Elemente enthält, die Bedingung für die Gleicli- 

 zahligkeit zweier Mengen a und h als eine Relation rein logischer Art 

 zwischen diesen ex])licite und iu geschlossner Form ohne weitres 

 hinzuzuschreiben. 



Dieselbe lautet in einer ersten von ihren Ausdrucksformen: 



12) 



(Num. a = Kum. b) = 



= {a;ä = h; h) [a; o'; a = b; o'; b) | «; o'(o'; aO'); a = b\ 0'(o'; bO');b'. 



j ■ia^a = b:^b} (äil'ia = 6il'i?.j [«i ) l' + l'i (« + l'l!ia = 

 i =gj-j l'+ l'j(/, + l')| J?,]. 



Aber auch für jeden Denkbereich, wenn 



eine gegebene Menge von bestimmten 6 Elementen vorstellt, wird man, 

 wenn nur ac, bc für«, b in 12) gesagt wird, die notwendige und hinreichende 

 Bedingung dafür haben, dass die (sonst beliebigen) Mengen a und b von 

 diesen 6 Elementen der Menge c gleich viele unter sich begreifen. Zur 

 Erläuterung: 



Wir erblicken in 12) sechs Faktoraussagen, wovon die der ersten 

 Zeile gemäss 5) bis 8) besagen, dass woferne a mindestens J, 2, 3 Elemente 

 enthält, dies bezüglich auch bei b zutrelfen müsse, sowie umgekehrt, also 

 auch falls jenes nicht, so auch dieses nicht, die Bedingungen der zweiten 

 Zeile aber besagen, dass wenn vom ganzen Denkberciche bei a mindestens 

 i, 2, 3 Elemente fehlen, dies auch ])ei b der Fall sei, und umgekehrt, etc. 

 Und hierdurch ist, wie man sich leicht überzeugt , "die Grleichzahligkeit der 

 Mengen a und b innerhalb !'„ in der That schon verbürgt. Die Bedingungen 

 der zweiten Zeile sind diejenigen, welche den darüber stehenden der ersten 

 dual entsprechen; sie gehen aus ihnen hervor, indem man a, b durch «, b 

 ersetzt und darnach kontraponirt. 



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