111] Die selbständige Definition der Mächtigkeiten etc. '^To 



den l)eiden Zeilen von Teilbedinouno-en Punkte . . . (als das bekannte Zeichen 

 für „und so weiter") angebracht zu denken. Ist a und h endlich, so werden 

 wir also haben: 



14) (Nun,. a = Num. t) = («^?,)=j;;;;;;;;;::;j;;; 



wo die Teilbedingung' c; statuirt, dass « und h immer nur gleichzeitig aus 

 „gerade x'-'- Elementen bestehen, und die Teilbedingung /;. der vorigen dual 

 entspricht, mithin — in ihrer kontraponirten Gestalt — das nämliche von a 

 ixnd ~b fordert. 



Anstatt „gerade a" kann man nach Belieben auch sagen .,mindestens 

 X + 1'' — was jedoch andre Teilbedingungen wie das vorige liefern wird. 

 Die Zulassung auch von „höchstens X" hätte nur den Eltfekt, in der L)opi)el- 

 zeile dieser letztern Bedingungen die obere Zeile mit der untern zu ver- 

 tauschen. 



Bricht man die Doppelzeile hinter dem Index x ab, so hat man für 

 jeden Denkbereich von nicht mehr als 2^+2 Elementen die explizite Gleich- 

 zahligkeitsbedingung komplet. Dann emptiehlt es sich, die untere Zeile 

 etwa [rückwärts im Anschluss an die obere zu lesen. Setzt man jedoch 

 die obere Zeile über c; hinaus bis mit c^^ fort, s(j wird die untere Zeile hin- 

 fällig, nämlich ebendadurch übertlüssig gemacht, und kann ganz weggelassen 

 werden — wie denn überhaupt schon das Produkt c^^ciCi ... c-, die Gleich- 

 zahligkeitsbedingung für a und h in jedem Deidvbereiche von nicht nielir 

 als X Jf- 1 Elementen und insbesondere in dem 1) selbst darstellen niuss. 



Die Teilbedingungen der oberen oder lateinischen Zeile sind (als die 

 erwähnten „Partialresultanten") sämtlich denknotwendige Konklusionen aus 

 der allgemeinen Definition der Gleichmächtigkeit, und sie gelten demnach 

 bedingungslos nicht nur in jedem Denkbereiche, sondern auch unabhängig 

 von der Voraussetzung der Endlichkeit der Mengen « oder h. 



Anders die Teilbedingungen der untern oder griechischen Zeile. Diese 

 müssen blos bei Endlichkeit \m\ a oder h erfüllt sein, obzwar sie dann von 

 einem bestimmten x ab sämtlich — in Gestalt von = — zu nichts- 

 sagenden werden. Sie ., kommen'' beim Unendlichwerden von « oder h 

 sozusagen „nie'', und da sie überdies durch unbegrenzte Fortsetzung der 



49* 



