382 Alfred Loewy, [6] 



A führt mit ihrer konjugirt imao-inären Substitution die bilineare Form S 

 mit konjugirt imaginären Variablen in sich über. 



Aus der Gleichung I. ergiebt sich sofort: 

 \Ä-\.\S\.\A\ = \S\.^) 



Da nun nach der Voraussetzung | 5 | ^ o, so folgt: \ A' \ . \ A \ = l. 



I Ä' I ist die konjugirt imaginäre Grösse zu | J. | ; infolgedessen er- 

 halten wir den Satz: 



Die Determinante einer linearen Substitution, welche 

 mit ihrer konjugirt imaginären Substitution eine bilineare 

 Form von nicht verschwindender Determinante mit konjugirt 

 imaginären Variabein in sich überführt, hat den absoluten 

 Betrag 1. 



Man kann eine beliebige Grösse vom absoluten Betrage 1: e*'' = 

 cos q> + i sin <p {i = [/^^) vorgeben , so giebt es auch stets Substitutionen, 

 welche S in sich überführen und e'f' zur Determinante haben; denn otfenbar 

 erfüllt die lineare Substitution: 



(fi — <pi 



xa = e^ga ; a = 1 : 2 . . m mit ihrer konjugirt imaginären xa = e~n~ g« 

 die vorgeschriebenen Bedingungen. 



^Vir gehen nun dazu über, den Charakter einer linearen Substitution 

 A, welche mit der konjugirt imaginären eine bilineare Form S auf die ge- 

 wünschte Art in sich transformirt, näher zu untersuchen. Es ergiebt sich 

 folgendes Resultat: 



Damit eine lineare Substitution A mit ihrer konjugirt 

 imaginären eine bilineare Form ^ von nicht verschwindender 

 Determinante mit konjugirt imaginären Variablen in sich 

 transformire, ist nothwendig u. hinreichend, dass die Elemen- 

 tartheiler ihrer charakteristischen Funktion d. h. der Deter- 

 minante \ —A -\- Q E\,'^) wo Q einen variablen Parameter bedeutet, 

 paarweise von gleichem Grade sind und falls einer derselben 



für eine Grösse d verschwindet, so muss der andere für ^ Null 



d 



') Unter ] P | sei stets die Determinante der bilinearen Form P verstanden. 



U = H _ 



^) Unter E sei stets 2} xa Xa verstanden, 

 a = \ 



