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[7] Ueber bilineare Formen mit konjngirt imaginären Variabein. 383 



werden; eine Ausnahme tritt nur für diejenigen Wurzeln der 

 charakteristischen Gleichung ein, welche vom absoluten Be- 

 trage 1 sind. 



Der Beweis folgt sofort aus folgendem Satz von Hrn. Frolienius'): 

 Damit zwei Substitutionen geeignet sind, eine bilineare Form von nicht 

 verschwindender Determinante in sich selbst zu trän sfoi'm Iren, ist notwendig 

 und hinreichend, dass die Elementartheiler ihrer charakteristischen Functionen 

 einander so zugeordnet werden können, dass die entsprechenden von gleichem 

 Grade sind und für reciproke Werthe verschwinden. Nach dem citirten 

 Satz muss also zwischen | qE — A \ und | qE — Ä' \ folgender Zusammenhang 

 stattfinden: Findet man bei der Zerlegung der charakteristischen Function 

 von A in Elementartheiler: 



\QE-A\^{Q-drHQ-m^--(Q-{nP^... 

 so muss: 



I qE-Ä' I = 

 sein. Nun wird aber: 



I qE—Ä' I = (p — f/)»»' (p — f)'"-^ . . (p — ^)^' • • 



Daher muss entweder: «'i = w» ; d= -^; /■=^ 



/ d 



oder: ^=- d. h. gg = i sein. 



Wenn sich umgekehrt die characteristische Funktion von A:\—A + qE\ 

 in Elementartheiler: 



(,-.z)'-(,-iJ'\.(p-,)^'..., wo,,-=l ist, 



spalten lässt, so ist dies nacJi dem Theorem von Herrn Frobenius auch 

 hinreichend, dass A in Verbindung mit der konjugirt imaginären Substitution 

 eine bilineare Form S von nicht verschwindender Determinante mit kon- 

 jugirt imaginären Variablen in sich transformirt. 



Die Gesammtheit aller linearen Substitutionen, welche S auf die 

 angegebene Weise in sich transformiren, bilden eine Gruppe. Sind daher 

 P1P2 ■ ■ Pfi irgend Avelche lineare Substitutionen, welche S auf die betrachtete 



1) Frobenius, a. a. 0. p. 31. 



