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Art in sich überführen, so geschieht dies auch durch: P,^' F^-^ . . Pf/f^, wo 

 /li A, ■ ■ h^ irgend welche positive oder negative ganze Zahlen sind. Hieraus 

 ergiebt sich das Theorem, welches Herr Fuchs') erst kürzlich in seiner 

 interessanten Abhandlung .,Ueber eine Klasse linearer Differentialgleich- 

 ungen" ausgesprochen liat, als Specialfall. 



§ 2- 

 Darstellung' der linearen Substitutionen, welche die Form 



in sich traiisformiren. 



Wir gehen nun dazu über, die Gesamnitheit der Substitutionen, 

 welche in Verbindung mit ihren konjugirt imaginären die Form S in sich 

 transformiren, explicit darzustellen. Wir setzen, unter Q^ eine ganz beliebige 

 Form von nicht verschwindender Determinante verstanden: 



S+T=Q,. S — T=^Q.,. 



A = Qr' Qi = ('5 + T)-' {S — T) = {S + T)-i {—S — T+2 S). 



= — £ + 2 (s -I- r)-i s . 



Ä + E^2iS + T)-' S. 



Falls die Determinante von Q^ = S + T von Null verschieden ist, 

 verschwindet auch die von A + E nicht, da | S | ^ o. 

 Bilden wir nun: 



^ Ä' SA = [—E+2{E+T' S'-')-'] S [—E+2{E+ S~' T)"'] 



^S + i(E+T' S'-y S {E + S-' T)-' — 



— 2[E+T" S'~y S — 2S{E-\- S-' Tr\ 



= S + 2{E+T' S'-y [2S — S{E+ S'' T) — 



— {E+T" S'-') S] iE + S~' T)-\ 



= S + 2{E+f' S'-y [— T— r S'-' S]. {E + S-'T)-\ 



Man erfüllt mithin die Gleichung: 



Ä'SA=S; wenn man T aus der Gleichung: 



T+T' S'-' S = 

 wählt. 



') L. Fuchs, Sitzungsberichte der Berliner Akademie. 9. .luli 1896. p. 763. Theorem 

 III. Man sieht aus dem Obigen, dass die Einschränkung von Herrn Fuchs „wenn überdies 

 wenigstens für einen Umlauf die Wurzeln der zugehörigen Fundamentalgleichung von einander 

 verschiedene Grössen mit dem Modul 1 sind" nicht nöthig ist. 



