[9] lieber bilineare Formen mit konjiig-irt imaginären Variablen. 385 



Wir erhalten also das Resultat: 



Ist S eine beliebige bilineare Form von nicht verschwin- 

 dender Determinante mit konjugirt imaginären Variablen, 

 g e n ü g t r d e r G 1 e i c h u n g : 



und verschwindet die Determinante von ,S + T n icht, so führt: 



A^{S + T)-' {S — T) 

 in Verbindung mit ihrer konjugirt imaginären Substitution 

 die Form S in sich über; hierbei ist | ^ + £: | ^ o. 



Es gilt aber auch die Umkehrung dieses Satzes: 



Jede Substitution A, welche mit ihrer konjugirt ima- 

 ginären Substitution eine beliebige bilineare Form S von 

 nicht verschwindender Determinante mit konjugirt imagi- 

 nären Variablen in sich transformirt und für welche 

 I ..4 4- -E I ^ ist, lässt sich auf eine einzige AVeise in die Form: 



A = {s + rr' iS-T) 



bringen; hierbei genügt T der Gleichung: 



T S-' + f' S'-' = 0. 

 Zum Beweise bedenke man: Bei gegebenem A und S findet man auf 

 eindeutige Weise T aus der Gleichung: 



A + E=2iS + T)-i Ä ; hieraus folgt : 



S-' iS + T) = 2{A + E)-^ 

 E+ S-'T=2{A + E)-^ 

 T=-2S{A + JS)-i — S 

 T=S(E — A) (JE + ^)-» 



Wenn man T derartig gewählt hat, so genügt es der Bedingungs- 

 gleichung; denn es wird: 



T S-^ = S {E — A) iE + A)-^ S-^ = _i • + 2 {SAS-^ + E)-^ 

 T' S'-i = {E + Ä')-^ {E—Ä') 

 Nun ist nach der Voraussetzung: Ä'SA = S; daher wird: Ä' — SA-^ S-^ 



') Vgl. die von Herrn Voss für die kogrediente Transformation einer bilinearen 

 Form gegebene Formel und die Herleitung derselben. Voss, Ueber die cogredienten Trans- 

 formationen einer bilinearen Form in sich selbst. Abhandlungen der kgl. bayerischen Aka- 

 demie der Wiss. II. Cl. XVH. Bd. II. Abth. 1890, p. 71—73. 



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