386 Alfred Loewy, [lOJ 



T' 5'-' = {E+ SA--" Ä-')-i {E — SÄ-^ S-') 

 :^E—2(E+ SA-^ S-')-' SA-' S-' 

 = E—-2(SAS-' + E)-' 

 Mithin ist: TS-'' + f' S'-' = 0. 



Um nun auch diejenigen linearen Transfoimationen A in den Kreis 

 unserer Betrachtung- zu ziehen, welche Ä in sich überführen und für welche: 

 \A-\-E\=o ist, bedenke man Folgendes: Wenn A eine Transformation ist, 

 bei welcher \ A + E \ verschwindet, so hat die charakteristische Funktion 



von A: I —A + flE\ neben Wurzeln (7 und - unter den Wurzeln f/ vom ab- 



(I 



sohlten Betrage 1 auch — 1 zur Wurzel. Nun führt aber e~f^A, wo e^* = 

 cos g) + / sin rp {i = \/—i} ist, auch ,S' in sich über, die charakteristische Funktion 



dieser neuen Substitution Ai=e~'^'^A hat nun die Wurzeln d e~f^;-~i''' • • ^e~** . ., 

 yvO(/(j==i ist. Man kann nun offenbar die Grösse ^ so wählen, dass die 

 charakteristische Funktion von Ai keine AVurzel — 1 besitzt; dann ist aber 

 Ai in der früher angegebeneu Form darstellbar. 



.dL, = e-»'' A = {S + J)-' {S — T). 

 A = e*' {S + Tr' {S — J). 

 Da man in der obigen Formel auch cf = 2 jr, wobei x die Ludolphsche 

 Zahl ist, setzen kann und dann «2^'= i wird, so ergiebt sich: 



Jede lineare Substitution^, welche mit der konjugirt 

 imaginären eine Form ,S' von nicht verschwindender Deter- 

 minante mit konjugirt imaginären Variabein in sich trans- 

 formirt, las st sich ausnahmslos in die Form: 



A = e'^US + T)-'(S — T) 

 bringen; hierbei genügt T der Gleichung: 



TS-' + T' S'-' = 0. eV' = cos 9) + / sin ff. 



IL 

 Bisher setzten wir von der zu betrachtenden bilinearen Form mit 

 konjugirt imaginären Variablen nur voraus, dass ihre Determinante nicht 

 verschwindet. Im Folgenden wollen wir zwei besondere Gattungen bilinearer 

 Formen mit konjugirt imaginären Variabein betrachten: 



