[11] Ueber bilineare Formen mit konjugirt imaginären Variabein. 387 



a) Defiiiite bilineare Formen. 

 |3) . H e rm i t e s c li e Formen. 



Eine jede bilineare Form S = 2 2 s^x xd^ die für konjug'irt komplexe 



Werthe der entsprechenden Yariabeln nur verschwinden kann, wenn die 

 Variablen sämmtlich Nnll sind, heisst eine definite Form. Unter einer 

 Her miteschen Form verstehen wir eine bilineare Form ,S. in welcher 

 Saß nnd Sßa konjugirt komplexe Grössen bedeuten und mithin *■„„ reell ist. 

 Diese Formen sind von Herrn Her mite im Journal f. d. r. u. ang. Math. 

 Bd. 47, p. 345 sowie Bd. 52, p. 39 und Bd. 53. p. 183 gelegentlich zahlen- 

 theoretischer und algebraischer Fragen in die Wissenschaft eingeführt worden. 



§ 3. 

 Definite bilineare Formen. 



Wir beweisen folgenden Satz: 



Wenn eine lineare Substitution ^4: 



x = n 



•^a ^ ^ ^'«z ^x 

 x = \ 



mit ihrer konjugirt imaginären Substitution: 



z=w _ 

 Xa = 2 ttax §x 

 x=l 



eine definite Form mit konjugirt imaginären Variableu in 

 sich überführt, so hat d ie charakteristisch e Funktion | pi^—j.] 

 lauter einfache Kiemen t artheiler; diese verschwinden aus- 

 schliesslich für AVerthe vom absoluten Betrage 1. 



Zum Beweise bedenken wir Folgendes: 



Wenn die Gleichung: | qE—A \ =0 eine Wurzel pi hat, so giebt es 

 ein Werthsystem: g,'" g,,"" .... g„'", dessen Elemente nicht sämmtlich Null 

 sind, und welches den Gleichungen : 



Q\ Sa — — "ax Sx , " — i , - . . At, 

 x=\ 



» 



genügt. Durch Vertauschung von i mit — i geht dieses Gleichuugssystem, 

 wenn ~s,a^\ qx die konjugirt imaginären Werthe zu ^a^^ und p, sind, in : 



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