388 Alfred Loewy, [12] 



--n 



- - (1) 



pi ga'"= S a«;.sV', « = l; 2..«, 

 über. Ersetzen wir m\\\ in der Identität: 



_ ß=n j?=Ji _ a=n (?=n _ _ 



p, -Q^ S 2 S,^, g/) iy^) = ^ 2^ 5,,, Q, |„"> p, 1^« 

 ß=l ,?=1 «=l ß=\ 



auf der rechten Seite q^ s«''' und q^ '^f durch ihre ^Yerthe aus den oberen 

 Gleichungen und bedenlven, dass A in Verbindung- mit der konjugirt ima- 

 ginären Substitution die Form 5 in sich transformirt, so wird: 



Pi Pi " ^ *a/9 Sa S/:? — "^ " *«/:? »a S,9 • 



Nach Voraussetzung ist S eine detinite Form; da nun nicht sämmtliche g«"^ 

 Null sein können, so ist: 



^2^.„^5g/)g>"- 0. 



Infolgedessen wird q^q^ = 1; d. h. jede Wurzel der charakteristischen 

 Gleichung hat den absoluten Betrag 1.') 



Um die Einfachheit der Elementartheiler zu zeigen, brauchen wir 

 zunächst einen Hülfssatz. Derselbe lautet: 



Wenn eine lineare Substitution mit ihrer konjugirt 

 imae-inären eine bi lineare Form in sieh transformirt, so 

 transformirt jede ähnliche Substitution mit ihrer konjugirt 

 imaginären eine a e q u i v a 1 e n t e Form. 



Sei die Substitution A der Substitution :n^ ähnlich, so ist hierzu noth- 

 wendiff und hinreichend, dass die Elementartheiler der charakteristischen 

 Funktionen der zwei Substitutionen übereinstimmen. Dann giebt es stets 

 eine Substitution p von nicht verschwindender Determinante, dass: 

 N=P-^ AP wird. (Vgl. Frobenius, Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84, p. 21). 



Wenn nun: 



Ä'SA = S ist, so wird: 

 N'{P'SP)N^ P'SP. 

 P'SP geht aus der Form S durch Anwendung der Substitution p und der 



1) Die obige Beweismethode ist eine Nachbildung der von Weierstrass in den 

 Berliner Monatsberichten vom Jahre 1879, p. 430 angewandten, um die Realität der Wurzeln 

 der Gleichung | q P — Q \ =0 zu zeigen, wo P eine definite, Q eine beliebige quadratische 

 Form mit reellen Koefficienten sind. 



