[131 Ueber bilineare Formen mit konjngirt imaginären Variablen. 389 



koiijiigirt imaginären p auf die Variablen von ,S' hervor; zwei Formen, 

 welche in dem geschilderten Verhältnisse stehen, sollen, wenn die Sub- 

 stitiitionsdeterminante von Null verschieden ist, aequivalent heissen. 

 Bei dieser Aequivalenz ist auch die allgemein an Aequivalenzen zu stellende 

 Bedingung, dass wenn zwei Formen einer dritten aequivalent sind, sie unter 

 einander aequivalent sind, erfüllt. ^) 



Wenden wir uns nun wieder zu dem zu beweisenden Theoreme. 

 Wir benutzen beim Beweise eine von Herrn C. Jordan in seinem Traite 

 des substitutions gegebene Normalform für lineare Substitutionen; diese 

 Normalform wird uns auch im Folgenden stets die wesentlichsten Dienste 

 leisten. 



Man kann jede lineare Substitution: 



x=n 

 z=l 



deren charakteristische Gleichung: 



Q E-A I = 



-a,„ —«2» • ■ Q—a„ 



die Elementartheiler {Q—QX'{Q—Q\)'""--i.Q—QiT'iQ—Q-i)""--^^^^^'^^^ durch Ein- 

 führung von neuen Variablen, welche passend gewählte Linearformen der 

 alten sind, in folgende Normalform N bringen : 



a;i' x'-i . . a;'„,. p, g'i ; pi (g'2 + s'i) ■ ■ ■ Ci (gm- + s'm--i)- 



x"i x\ . . x",n- e, g"i ; pi (s"2 + i") ■■■ Pi er»." + r'-'-i). 

 y\ y'i ■ ■ y'n' qi n'\ ■■ qi W-i + '/i) • • ■ Qi ('/'«■ + '/'«--i)- 



y"\ y"i ■ ■ y"n- Qi >i\; g^ {>j'\ + »/',) ... q. {r/'„- + //V'-i). 



Man sieht, dass die neuen Variablen x, y . . . sich in Klassen theilen, welche 



•) Vgl. Frobenius a. a. O. p. 19 sowie Frobenius, Jonrn. f. d. r. u. ang. Math. 

 Bd. 95, p. 265. 



2) C. Jordan, Traite des substitutions. Paris 1870. Livre II, Chapitre II, § 5 et § 6. 



Vgl. ferner C. Jordan, Snr les transformations d'une forme quadratique en elle-meme. 

 Journal de Mathematiques par Liouville. 1888. p. 349. 



Ueber diese Jordansche Normalform siehe auch: E. Netto, Zur Theorie der linearen 

 Substitutionen. Acta mathematica. Bd. 17, p. 265. 



