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den verschiedenen Wurzeln von \ qE — A \ =0 entsprechen. Es giebt nun 

 stets eine Form p von nicht verschwindender Determinante, dass: N=P-^AP 

 wird. X führt eine zu S aequivalente Form, nämlich P'SP, in sich über; 

 ist aber S defiuit, so triift dies oifenbar auch für jede aequivalente Form, 

 also auch für P'SP. zu. Es möge nun P'SP^B gesetzt sein, wobei: 



P = 1:2: r^'-M x^'] x^t + :^:i^ • • wird. 



Betrachten wir nun den Koefficienten von .r',„._i .r',„. in i?, unter der 

 Aimahme m' > 1, vor und nach der Transformation durch x. 



Wir können in x da R definit ist, pi pi = 1 annehmen. Vor der 

 Transformation ist der Koefticient von x',n--i ä'„,. durcli »'„'.^{Vm^ "act der- 

 selben durch: >„!3i, '^l + >',J! <^! gegeben. Soll nun i? durch N und die kon- 

 jugirt imaginäre Substitution in sich übergehen, so muss offenbar '•',!,! '^! = 

 sein. Wenn dies aber der Fall ist, so kann p annullirt werden, indem 

 man in p alle Variablen l)is auf x'^, und die konjugirt imaginäre Grösse 

 x'm- Kuli setzt und der Variablen x'^, einen ganz l)eliebigen Werth beilegt. 

 Dies aber widerspricht der Thatsache, dass p definit ist. Mithin kann m' 

 nicht > 1 sein; es ist also «<' = 1. Genau ebenso ist mit den anderen 

 Elenientartheilerexponenten zu verfahren: hiermit ist die Einfachheit der 

 Elemeiitartheiler gezeigt. 



Wenn S = 2:i:s„ß .r„ x^ reelle Koefficienten s„^^ hat, so genügt, damit 

 S definit sei, dass die (juadratische Form Z Zs„ß fx^Hß^ wo die Grössen /<„, 

 tiß reelle Variablen sind, definit sei. Für diese Formeugattung hat mit Be- 

 schränkung auf reelle kogrediente Transformationen Herr Voss^) das obige 

 Theorem auf ganz anderem Wege bewiesen. Für die reelle kogrediente 

 Transformation einer definiten quadratischen F(n-m findet man diesen Satz 

 schon in einer Arbeit von Herrn Stickelberger^) auf elegante Art 

 wohl zum ersten Male vollständig abgeleitet. Für definite Hermitesche 

 Formen findet man unseren Satz in einer Arbeit von Herrn Fro1)enius^) 



1) Vgl. Voss a. a. 0. p. 37. 



2) L. Stickelberger, üeber reelle orthogonale Substitutionen. 1877. Programm- 

 abhandlnng des ZüricUer Polytechnicum. 



Einen anderen Beweis siehe bei: Frobenius, a. a. 0. p. 52, .53. 



3) Frobenius, Ueber die principale Transformation der Thetafunctionen. Journ. f. 

 d. r. u. ang. Math. Bd. 95, p. 2U7 sowie p. 283. 



