[151 Ueber bilineave Formen mit konjiigirt imaginären Variablen. 391 



„Ueber die priucipale Transformation der Thetafuiictionen." Nach P^.rscheinen 

 meiner Note in den Comptes rendiis der Pariser Akademie vom 20. Juli 1896, 

 in welcher ich auch den Satz u. a. ausgesprochen habe, hatte Herr Fro- 

 benius gelegentlich eines Schreibens vom 30. Juli 1896 die Freundlichkeit, 

 meine Aufmerksamkeit auf diese seine Arbeit zu lenken; dieselbe war mir 

 damals sogar dem Titel nach unbekannt. Der hier gegebene Beweis des 

 allgemeinen Satzes scheint mir wegen seines einfachen Charakters dem von 

 den Herren Frobenius und im Anschluss hieran von Voss für die Special- 

 fälle gegebenen vielleicht den Vorzug zu verdienen. 



Wir sind im Vorstehenden auf Gleichungen geführt worden, welche 

 nur Wurzeln vom absoluten Betrage 1 . besitzen. Inbezug auf derartige 

 Gleichungen hat Kronecker^) einen bemerkenswerthen Satz ausgesprochen: 

 Die Wurzeln einer ganzzahligen Gleichung, in welcher der Koefficient der 

 h'jchsten Potenz 1 ist, müssen, falls sie alle den absoluten Betrag 1 besitzen, 

 Einheitswurzeln sein. 



Dieser Satz lässt sich auf folgende Art verallgemeinern: 

 Die Wurzeln einer Gleichung, in welcher der Koeffi- 

 cient der höchsten Potenz 1 ist und alle anderen Koeffici- 

 ent en ganze komplexe Zalilen des Bereiches: (1; /|/i)) oder 



1- "^ *^ j sind, wobei D eine positive ganze Zahl ist, die 



im zweiten Fall der Bedingung D=3 (mod 4) unterworfen ist, 

 müssen, falls sie alle vom absoluten Betrage 1 sind, sämmt- 

 1 i c h E i n h e i t s Av u r z e 1 n sei n. 



Mau kann den Beweis in genau analoger Weise wie Kronecker 

 führen; man kann sich aber auch beim Beweis des erweiterten Satzes auf 

 das Kroneckersche Theorem stützen und dann, wie folgt, argumentireu. Es 

 sei ^ (p) = die vorgelegte Gleichung, bei welcher der Koefficient der 

 höchsten Potenz 1 und die anderen Koefficienten ganze Zahlen eines ima- 

 ginären quadratischen Körpers seien; die Koefficienten sind dann von der 



Form: s + ti\/I) oder s + t ^ "'"J^^ ' ^^"'^ -D=8 (mod. 4) ist; hierbei sind 



•) Kroneclver, Zwei Sätze über Gleichungen mit ganzzahligen Koefficienten. Journ. 

 f. d. r. u. ang. Math. Bd. 53, p. 173. 



