392 Alfred Loewy, [16] 



s und / beliebige reelle ganze Zahlen, B eine bestimmte positive ganze 

 Zahl; i^=[/—[. Vertauscht man nun in f (q) jeden Koefficienten mit dem 

 konjugirt imaginären, so entsteht eine Gleichung: /"((>) = 0; die ^Yurzeln der 

 ueuen (lleichung sind konjugirt imaginär zu denen von /■(p) = o und haben 

 mithin auch den absoluten Betrag 1. Die Koefficienten der neuen Gleichung 

 sind oftenijar ganze Zahlen desselben imaginären quadratischen Körpers, 

 dem diejenigen von /■(p) = angehören. Bihlen wir nun /" (p) /" (p) = o. Diese 

 Gleichung hat ersichtlich nur reelle Koefficienten. Da nun Summe, Diffe- 

 renz und Produkt ganzer Zahlen eines Körpers wieder ganze Zahlen des 

 Körpers sind, so stellt /'(p)/'(p) = o eine ganzzahlige Gleichung dar, der 

 Koefficient des höchsten Gliedes ist 1; ferner sind auch alle AVurzeln der 

 Gleichuno- vom absoluten Betraffe 1. Mithin hat nach dem Ki'oneckerschen 

 Satz die Gleichung /(p) /'(p) = o nur Einheitswurzeln; daher verschwinden 

 auch die Faktoren nur für Einheitswurzeln. Hiermit ist unser Satz bewiesen. 



Infolgedessen kann man folgendes Theorem aussprechen: 



Wenn eine lineare Substitution mit Koefficienten, 

 welche ganze Zahlen eines imaginären quadratischen Kör- 

 pers sind, in Verbindung mit der konjugirt imaginären 

 Substitution eine definite bi lineare Form in sich überführt, 

 so ist sie periodisch.^) 



Der Beweis beruht darauf, dass die charakteristische Funktion der 

 Substitution nur einfache Elementartheiler hat, welche ausnahmslos für 

 Einheitswurzeln verschwinden. Dies ist aber nothwendig uiul hinreichend, 

 dass eine Substitution periodisch ist.-) 



Ehe wir diesen § schliessen, geben wir noch folgendes Theorem, 

 das eine unmittell)are Folge des p. 11 aufgestellten Satzes ist: 



Sind A^ und A^ zwei beliebige lineare Substitutionen, 

 welche in Verbindung mit ihren konjugirt imaginären Sub- 



') Vgl. E. Picard, a. a. 0. Acta math. Bd. 1, p. .300. Es werden dort Ilermitesche 

 definite Formen von 3 Variablenpaaren betrachtet; hierbei werden die Koefficienten der Her- 

 miteschen Form der Bedingung unterworfen auch nur ganze Zahlen eines imaginären quad- 

 ratischen Körpers zu sein. Der Körper wird dann zu (l;i) oder (1; t), wo s eine primitive 

 dritte Einheitswurzel ist, specialisirt. 



^) Frobenius, Journ. f. d. r. u. ang. Math. Bd. 84. p. 16 sowie Lipschitz, Acta 

 math. tome X. 



