[43] Ueber bilineare Formen mit konjugirt imaginären Variablen. 419 



Daher substituiren sich die Z'y. auf folgende Art: 

 Z'r- = 9, [3',' - BV'Hri + 3V+2 •■ + (-!) f'-'" &f' - 2 £ / 3y,+i - 6 i cyo] 



>' = 1;2../-'— 1. 

 Z'f = ih (3'/" — 2 J / äV'-rl - * '" SV')- 



^V'+i = .''/i (-SV'-^i + ?V')- 



Nehmen Avir hierzu noch: 



^r' = ^1 {^'r' + r,-'-l ); '•' = 1 •• 2 . . /'; WO C', = ist, 



SO hat diese Substitution oftenbar auch dieselbe charakteristische Funktion 

 mit dem einzigen Ellementartlieiler (p — r/ij^r + i =(_p — p,)p' wie -S/^,]. Die an- 

 geg-ebene Substitution führt nun gemeinsam mit der konjugirt imaginären 

 Substitution eine Hermitesclie Form von nicht verschwindender Determinante 

 in sich über: der Trägheitsindex der Hermiteschen Form kann entweder 

 = /■' oder /■' + 1 gewählt werden; die Charakteristik hat stets den festen 

 Werth /■'. Hiermit ist nun gezeigt, dass für jj' = 2 /' + i die ähnliche Sub- 

 stitution ^l Y mit ihrer konjugirt imaginären eine Hermitesche Form von 

 nicht verscliwindender Determinante mit der Charakteristik /' in sich über- 

 fülirt. Der Träglieitsindex dieser Form kann beliebig =/"' oder /'+! ge- 

 wählt werden. Da man alle anderen Theile von -N, ebenso und in gleicher 

 Weise ^-^^, i^'p, . . ^'f,j behandeln kann, so ist unser Satz erwiesen. 



Es gilt ferner der weitere Existenzsatz, welcher in gewisser Be- 

 ziehung die Umkehrung des voraufgegangenen darstellt: 



Es sei eine beliebige Hermitesche Form von nicht ver- 

 schwindender Determinante mit n Variablenpaaren und der 

 Charakteristik i^ gegeben. Ferner sei eine beliebige charak- 

 teristische Funktion vom Grade n vorgelegt: die sämmtlichen 

 verschiedenen Wurzeln derselben seien: 



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wobei die Grössen (/ vom absoluten Betrage 1 seien, die Grössen 

 rf hingegen nicht den absoluten Betrag 1 haben. Die Elementar- 



theiler. welche für zwei der zugeordneten Grössen d und - ver- 



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schwinden, seien stets paarweise vorhanden und von gleichem 

 Grade. Gilt dann zwischen den Elementartheilerexpouenten 



