420 Alfred Loewy, [44] 



der charakteristischen Funktion und der Charakterstik (j" der 

 Hermiteschen Form die fundamentale Ungleichung: 



q'>s + ^E (^) (vgl. p. 20), wo 2s die Summe aller zu (h d-i . . d, ^ _ .. ^ 



gehöriger Elementartheilerexponenten bedeutet und // die Ex- 

 ponenten aller zu f/, ^/^ .. r/^ gehöriger Elementartheiler durch- 

 läuft, so giebt es stets eine lineare Substitution, welche die 

 willkürlich vorgegebene charakteristische Funktion besitzt 

 und gemeinsam mit der konjugirt imaginären Substitution die 

 ffeo'ebene Hermitesche Form in sich überführt. 



Der Beweis beruht auf Folgendem : Es sei S die gegebene Hermitesche 

 Form. Wenn diese Hermitesche Form S durch eine lineare Substitution 

 und die konjugirt imaginäre in sich übergeht, so wird auch stets — ,s' hier- 

 durch in sicli transformirt. Man kann daher, ohne die Allgemeinheit des 

 Beweises zu beeinträchtigen, annehmen, dass die gegebene Hermitesche 



Form S sowohl die Charakteristik wie den Trägheitsindex q' hat. q'<2- 



Zu der vorgegebenen charakteristischen Funktion koifstruire man die 

 C Jordansche Normalforni ^Y einer linearen Substitution. ]\lan zerlege wieder 

 wie früher -^' in Theile: ^\ + X, + ■ ■ 3", + ^V, + ^^ + ■ ■ -^w 



Die Theile ^\i-^, N^^-^...Ny-^ mögen ebenso, wie wir es oben thaten, 

 in Untertheile zerlegt werden, so dass jedem Untertheil nur ein einziger 

 Elementartheiler entspricht. Dann führt, wie wir zeigten, -N, + -Y, + ■ • + ^i 

 in Verbindung mit der konjugirt imaginären Substitution eine Hermitesche 

 Form von nicht verschwindender Determinante mit 2 s Variablenpaaren und 

 dem Trägheitsindex s in sich über. AVeiin il^,] einen Theil von ^\i-^ be- 

 deutet, Avelcher dem einzelnen Elementartheiler (p — gi)p' entspricht, so führt 

 -3^1] in Verbindung mit der konjugirt imaginären Substitution eine Hermitesche 

 Form von nicht verschwindender Determinante mit p' Variablenpaaren in 

 sich über. Bei geradem p' hat diese Hermitesche Form den Trägheitsindex 



wie die Charakteristik JE [2], l>ei ungeradem j/ hat sie die Charakteristik 



£ijj, und mau kann ihr nach Willkür den Trägheitsindex £'(9) bez. 



E (gl + 1 beilegen. Addirt man nun die Trägheitsindices der einzelnen 



