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III. 



Reelle quadratische Formen. 



Dieser dritte Tlieil ist der reellen Transformation einer reellen quad- 

 ratischen Form mit reellen Variablen von nicht verschwindender Deter- 

 minante gewidmet. Die reelle Transformation einer reellen quadratischen 

 Form ist bisher mit Ausnahme eines von Herrn Voss stammenden, im 

 Folgenden zur Sprache kommenden Satzes nur im Specialfall reeller ortho- 

 2,'onaler Substitutionen untersucht worden. 



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§ 9. 

 Eine jede reelle quadratische Form S = ^ — ««,? ^a ^',i von nicht 



verschwindender Determinante, bei welcher ««,:; = s?« reelle Koefficienten 

 bedeuten, kann durch eine reelle lineare Substitution: 



x=n 

 ■*'«= - iW §y, ß=l, 2 .. n, 



wobei die Substitutionsdeterminante von Null verschieden ist, in die kon- 

 gruente') Normalform: G = 2" |" — 2 § transformirt werden. In diese 



a=l " a=q+l a 



Normalform kann die reelle Form ,S' auf unendlich viele Arteii durch reelle 

 Transformationen ültergeführt werden. \\'ie dies aber aucli geschehen mag, 

 so hat q bekanntlich denselben unveränderlichen Werth und heisst nach 

 Sylvester der Trägheitsindex der reellen ([uadratischen Form.-) Damit 

 zwei reelle quadratische Formen von nicht verschwindender Determinante 

 durch reelle lineare Substitutionen in einander transformirbar sind, ist noth- 

 wendig und hinreichend, dass sie denselben Trägheitsindex haben. In den 

 folgenden Untersuchungen wird nicht die Zahl q, sondern wie bei den Iler- 

 miteschen Formen die kleinere der zwei Zahlen q und n — q eine wesentliche 



') Ueber dit' von Kronecker stammende Bezeichnung „kongruent" vgl. Frobenius, 

 Journ. f. d. r. ang. Math. Bd. 84, p. 22. 



'■') Inhezug auf die Geschichte der Entdeckung des Trägheitsgesetzes der reellen 

 quadratischen Formen vgl. die Bemerkungen von Borchardt, Journ. f. d. r. u. ang. Math. 

 Bd. 5.3, pag. 283 sowie die diesen Bemerkungen vorangehenden Aufsätze von Jacobi und 

 Herrn Herrn ite. (Journ. f. d. r. und ang. Math. Bd. 53, pag. 265 ff.) 



