428 Alfred Loewy, [Ö2] 



§ 10. 

 Folgeniii2;eii aus der fundament.^leu Ungleiclumg des § 9. 



Aus der im vorigen § aufgestellten Ungleichung können wir genau 

 dieselben Schlüsse wie im § 6 ziehen. Wir halten es für vortheilhaft, die 

 Resultate nochmals für reelle (luadratische Formen zu wiederholen. 



a) Die charakteristische Gleichung einer reellen linearen 

 Substitution, welche eine reelle quadratische Form Aon nicht 

 verschwindender Determinante mit der Charakteristik r^' in 

 sich transformirt, kann nicht mehr als 2 q' Wurzeln, welche 

 nicht vom absoluten Betrage 1 sind, besitzen: sie muss also 

 wenigstens n — 2g' W u j z e 1 n vom absoluten Betrage 1 haben; 

 hat die charakteristische Gleichung genau « — 2g' Wurzeln 

 vom absoluten Betrage 1, so gehihen zu diesen "Wurzeln 

 einfache E 1 e m e n t a r t h e i 1 e r. 



b) Die charakteristische Gleichung einer reellen 

 linearen Substitution, welche eine reelle ((uadra tische 

 Form von nicht verschwindender Determinan te mit der Cha- 

 rakteristik q' in sich transformirt, kann höchstens g' Ele- 

 mentartheiler haben, die nicht einfach sind. Hat die Charak- 

 ter i s t i s c h e F u n k t i o a genau g' E 1 e m e n t a r t li e i 1 e r , d i e n i c h t 

 einfach sind, so sind sie zwei- oder dreifach. Die zwei- 

 fachen müssen stets paarweise auftreten. Hat die charak- 

 teristische Funktion g' dreifache Elementartheiler, so be- 

 sitzt sie nur Wurzeln vom absoluten Betrage 1. 



c) Die charakteristische Funktion einer linearen 

 reellen Substitution, welche eine reelle quadratische Form 

 von nicht verschwindender Determinante mit der Charak- 

 teristik g' in sich überführt, muss, falls die Zahl « der 

 Variablen der Form > 3g' ist, m— 3g' einfache Elementar- 

 theiler im Minimum haben. Besitzt die charakteristische 

 Funktion genau « — 3g' einfache Elementartheiler, so be- 

 sitzt sie nur Wurzeln vom absoluten Betrage 1. 



