[53] Ueber bilineare Formen mit konjugirt imaginären Variablen. 429 



Für reelle quadratische Formen mit der Charakteristik g' = o ergiebt 

 sich aus jedem dieser 3 Sätze als unmittelbare Cousequenz und als Special- 

 fall das schon oben behandelte Theorem über reelle detinite (juadratische 

 Formen und im besonderen über reelle orthogonale Substitutionen. 



Sehr einfach gestalten sich auch die verschiedenen Fälle, welche 

 die charakteristische Funktion einer linearen reellen Substitution, die eine 

 reelle quadratische Form von nicht verschwindender Determinante mit der 

 Charakteristik q'=\ in sich überführt, aufweisen kann. Die charakteristische 

 Funktion hat entweder: 



1) n einfache Elementartheiler, welche sich auf n Wurzel vom ab- 

 soluten Betrage 1 oder auf « — 2 Wurzeln vom absoluten Betrage 1 und 

 zwei reciproke reelle Wurzeln vertheilen oder 



2) n Wurzeln vom absoluten Betrage 1, welche zu n — 3 einfachen 

 und einem dreifachen Elementartheiler gehiiren; der letztere verschwindet 

 stets für die positive oder negative Einheit. P^in Specialfall der zuletzt 

 ausgesprochenen Resultate ist das schon früher erwähnte Voss' sehe 

 Theorem. Unter Einführung des Begritfes „Charakteristik" lautet dasselbe 

 folgendermaassen : ,,Ist « eine imaginäre Wurzel der charakteristischen 

 Gleichung einer reellen linearen Substitution, welche eine reelle quadratische 

 Form von nicht verschwindender Determinante mit der Charakteristik q'^= i 

 in sich überführt, so hat « den absoluten Betrag 1 und die zu dieser 

 Wurzel gehörigen lOlementartheiler sind sämmtlich einfach."') 



Aus den für reelle quadratische Formen von nicht verschwindender 

 Determinante mit der Chai'aktcristik q' = i aufgestellten Sätzen, folgt bei 

 Beachtung des Kroneckerschen Satzes (vgl. p. 15) folgendes zahlen theore- 

 tisches Theorem, das vielleicht, da in letzter Zeit die Gruppe der ganz- 

 zahligen, linearen Substitutionen, welche einen ganzzahligen eintheiligen 

 Kegelschnitt in sich transformiren, von verschiedenen Autoren-) behandelt 

 wurde, nicht ganz ohne Interesse ist: 



Damit eine lineare ganzzahlige Substitution, welche 

 eine reelle quadratische Form von nicht verschwindender 



1) Vgl. Voss a. a. 0., p. 38. Herr Voss spricht von reellen Formen, die in ihrer 

 Tangentialmannigfaltigkeit definit sind. 



2) Vgl. u. a. Arbeiten von Herrn Fricke. 



