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Determinante mit der Charakteristik q' = i in sicli transformirt, 

 nicht periodisch ist, mnss ihre charakteristische Funktion 

 entweder zwei reelle reciproke Wurzeln, welche von der Ein- 

 heit verschieden sind, haben, oder die Wurzel -h i resp. — i 

 mit einem dreifachen Elementartheiler besitzen. Im letzteren 

 Fall hat die charakteristische Grleichung nur Einheitswurzeln. 



§ 11- 

 Existeiizsätze bei reellen linearen Substitutionen, welche eine 

 reelle quadratische Form von nicht verschwindender Deter- 

 minante in sich transformiren. 



Wir beweisen in diesem § zunächst folgendes Existenztheorem: 

 Diejenigen Beding-ungen, welche wir pag. 49 als noth- 

 wendig erkannten, damit eine reelle lineare Substitution eine 

 reelle quadratische Form von nicht verschwindender Deter- 

 minante in sich überführt, sind auch hinreichend, dass eine 

 reelle quadratische Form von nicht verschwindender Deter- 

 minante existirt. welche durch die gegebene reelle lineare 

 Substitution in sich übergeführt wird. 



Zum Beweise bedienen wir uns einer gewissen Normalform ^' für 

 reelle lineare Substitutionen. Es seien p,, q, . . . . sämmtliche verschiedene 

 reelle, ti, 'ti, ti, li • ■ ■ sämmtliche verschiedene imaginäre Wurzeln der charak- 

 teristischen Funktion irgend einer reellen linearen Substitution A. Die 

 Elementartheiler der charakteristischen Funktion von A seien: 



(p-ßi)'"' (p-e.)'"" • • (p-cO"' ((>-?.■>"" . . . [Q-er {Q-^y ■ ■ ■ (p-^.v"' io-iy . . . 



{g-tif (p-£äV" . . . [Q-lif {o—lif' . . . 



Zu jeder imaginären Wurzel der charakteristischen Gleichung muss, 

 da Ä reell ist, die konjugirt imaginäre gehören; ferner müssen die für 

 konjugirt imaginäre Wurzeln der charakteristischen Gleichung verschwin- 

 denden Elementartheiler paarweise auftreten und von gleichem Grade sein. 

 Der reellen Substitution A ordnen wir folgende Nornialform zu: 



