432 Alfred Loewy, . [56] 



v"{,} v"j2) .. T"{,.. 9t(Y)9^^ + 9i(f2y'j,};9t(^)(r2 + ^/^) + 9i(f2)('/'\-+y''^); 



^■l\ ,j . i/ N , cn / _ ] 



^{jj [V"t" + <P"f'-i) + ^ ['2J [V <n + 9" ir-i] ). 



Hierbei bedeutet 9i( £ ] mit Weierstrass den reellen Tlieil der komplexen Grösse 



£, 3flf-.j den reellen Tlieil von ^; es ist also 9t{«j + ' StuWi. Die aufgestellte 

 Normalform ^' hat genau diesellien Elementartheiler für ihre charakteristische 

 Funktion wie A. Die Variablen ?, y . . n. v . . theilen sich in K in Klassen; 

 jede der Variablen x, y . . entspricht einer der verschiedenen reellen Wurzeln 

 (»„ Po • ■-, jede der Variablen «, v . . entspricht einem Paare der verschiedenen 

 konjugirt imaginären Wurzeln ti, 'n bez. £.,, j., u. s. w. der charakteristischen 

 Gleichung von Ä.^) N und -4 sind zwei reelle, ähnliche, lineare Substi- 

 tutionen. Man kann daher eine reelle lineare Substitution P von nicht 

 verschwindender Determinante finden, dass K=P-^AP wird; dass die Sub- 

 stitution P reell wählbar ist, beruht darauf, dass die Koefheienten von P 

 aus denen von Ä und ^', welchen reelle AVerthe zukommen, durch rationale 

 Operationen gefunden werden.'') 



Wir verstehen nun für unsere folgenden Betrachtungen unter A eine 

 reelle lineare Sul)stitution. welche die pag. 49 als nothwendig erkannten 

 Bedingungen, damit überhaupt eine reelle quadratische Form S von nicht 

 verschwindender Determinante, welche durch A in sich transformirt wird, 

 existiren kann, erfüllt. Um jetzt die thatsächliche Existenz einer reellen 

 quadratischen Form S von nicht verschwindender Determinante zu erweisen, 

 genügt es die Existenz einer reellen quadratischen Form Q zu zeigen, 

 welche durch X=P-^ AP kogredient in sich übergeführt wird: dann führt 

 A eine zu (^ kongruente, gleichfalls reelle Form S = P'-^QP-\ deren Deter- 

 minante ebenso wie die von Q von Null verschieden ist, und welche den- 

 selben Trägheitsindex wie Q hat, in sich über. Es mögen nun: 



') In dem speciellen Fall, dass alle imaginären Wurzeln £ den .ibsoluten Betrag 1 

 haben und alle zugehörigen Elementartheiler einfach sind, ist diese Normalform von Herrn 

 Stickelberger in der schon p. 14 citirten Arbeit angewandt worden (p. 5). 



2) Vgl. Frobenius, Theorie der linearen Formen mit ganzen Koefficienten. Journ. 

 f. d. r. n. ang. Math. Bd. 86. p. 146, p. 202 ff. 



Vgl. ferner: Landsberg, Ueber Fundamentalsysteme und bilineare Formen. Journ. 

 f. d. r. u. ang. Math. Bd. 116, p. 331 ff. 



