[61] Uebcr bilineare Formen mit konjugirt imaginären Variablen. 437 



Da die Hermitesclie Form durch die Transformsitionen der -^^ i' in S H 

 in sich übergeht, so wird offenbar V/, + i durch -^i, + i in sich transformirt. 

 Die reelle quadratische Form Qi^+i hat doppelt soviele Variablen als 

 die sie erzeugende Hermitesche Form Variablenpaare besitzt; die An- 

 zahl der Variablen von Qi, + \ ist gleich der Summe der Exponenten 



aller zu f^/,4-1, rf/_i-i, ^ , - — p-ehöriffer P]lementartheiler. Der Trägheits- 



index der P^'orm V;, + i ist doppelt so gross als der Trägheitsindex der er- 

 zeugenden Hermiteschen Form;') derselbe ist mithin gleich der Summe 

 aller zu (?/, + i uncf di^+i gehöriger Elementartheilerexponenten; die Charak- 

 teristik von Qi,-{-\ stimmt mit dem Träglieitsindex iiberein. In analoger 

 Weise ist bei -^i,+2 ■ ■ • ^^h+k zu verfaln-en, um die Existenz reeller quad- 

 ratischer Formen Qi,+-2 ■ ■ ■ Qi,+i., von nicht verschwindender Determinante 

 nachzuweisen, welche durch diese Substitutionen kogredient in sich über- 

 geführt werden. 



Um die Existenz einer reellen quadratisclien Form von nicht ver- 

 schwindender Determinante zu zeigen, welche durch ^\i^ kogredient in sich 

 übergeführt wird, zerlegen wir uns N^^ in kleinere Theile, so dass ein 

 jeder Theil von j^\^ nur zwei Elementartheilern von gleichem Grade ent- 

 spricht, von denen der eine zur Wurzel g^, der andere zur Wurzel g^ der 

 charakteristischen Gleichung geliört. Diese Zerlegung von ^\^-^ ist wegen 

 der vorausgesetzten Eigenschaften der Substitution A stets möglich: wie 

 die aufgestellte Normalform lehrt, haljen die einzelnen Tlieile von JS\^ auch 

 keine Variablen gemein. Hat man daher für jeden Theil von A^fi, die 

 Existenz einer reellen quadratischen Form von nicht verschwindender Deter- 

 minante gezeigt, so hat man hiermit auch den Nachweis geführt, dass ^\i-^ selbst 

 eine reelle quadratische Form C[,j von niclit verschwindender Determinante 

 in sich transformirt. Wir bezeichnen nun den Theil von ^\i], welcher den 

 zwei Elementartheilern: (p — ^yi)^', (Q — g^)t' entspricht, mit M^^^. Man leitet 

 dann genau wie oben aus der Sul)stitution il/tu eine neue Substitution her, 

 welche nur f Variablen besitzt und deren charakteristische Funktion nur 

 den einzigen Elementartheiler {q — cj^Y' besitzt. Da j/i ^i = 1 ist, so führt 

 die neue Substitution in Verbindung mit ihrer konjugirt imaginären eine 

 Hermitesche Form von nicht verschwindender Determinante mit t' Variablen- 



1) Ch. Hermite, Journ. f. d. u. ang. Math. Bd. 52, p. 39, 40. 



