[63] üeber bilineare Formen mit konjugirt imaginären Variablen. 439 



Wir fügen diesem Jordanschen Nachweis noch die Bemerkung hinzu, die 

 Charakteristik dieser Form, welclie p' Variablen besitzt, muss nach pag. 51 den 



Werth E (j) besitzen; der Trägheitsindex der Form ist E i^J ^*^^^- -^i 2 )+ ^' 

 hierbei ist diese Unbestimmtheit nothwendig; denn wenn ü^j^i+i ; ^ eine reelle 

 quadratische Form in sich überführt, so wird diese Form, wenn man sie 

 mit der negativen Einheit multiplicirt, auch durch ilfj^j^,.jj in sich trans- 

 formirt. Wenden wir uns nun zu einem Theil von N^ji+^, welcher den zwei 

 Elementartheilern {(, — i)p"{q—i)i>", wo p" eine gerade Zahl ist, entspricht; 

 dieser Theil sei mit mit -^^(^i+i ^ oj bezeichnet. Die Transformation ^^^[^,+1,2] 

 führt dann auch eine reelle (quadratische Form von nicht verschwindender 

 Determinante in sich über; dieser Nachweis ist auch von Herrn C. Jordan') 

 geliefert werden. Wir bemerken noch, dass diese Form ersichtlich 2p" 



Variablen hat und ihr nach pag. 51 die Charakteristik ^y = 2 JJ (yJ zu- 

 kommt, der Trägheitsindex hat auch den Werth p". Genau analog wie 

 -^r>i+i;i] iinfl -3^[^i+i;o] sind alle anderen Theile von ^[,,+1] zu behandeln. 

 Hiermit ist der Existenzbeweis für eine reelle quadratische Form ^[^i+n 

 von nicht verschwindender Determinante, welche durch -^[^i-i-ij in sich trans- 

 formirt wird, geliefert. ^\ji+2] i*?t i» derselben Weise wie -^[^i+u zu be- 

 handeln. Hierdurch ist unser Satz bewiesen. 



Es gilt ferner der weitere Existenzsatz: 



Es sei eine beliebige reelle quadratische Form von 

 nicht verschwindender Determinante mit n Variablen und 

 der Charakteristik q' gegeben. Ferner sei eine beliebige 

 charakteristische Funktion vom Grade n vorgelegt; die 

 sämmtlichen Wurzeln derselben seien folgender Anordnung 



fähig: rfi, Y'i ^h T'y '■^h 7 ; • • <hi, -77 seien sämmtliche reelle Wurzeln, 

 welche von der positiven und negativen Einheit verschie- 

 den sind; 



1 1 _ 1^ 1 ■ , _ J_ 1 



^'.+1' ^''.+1'!^' 4^' '^^-+2' dk+2, 7^, -^^^^; . . . <h.+h, dk+i,, ^^^^^, -^^^^^^ 



seien sämmtliche imaginäre Wurzeln, welche nicht den ab- 

 soluten Betrag 1 haben; g^, g,; g,, g^; . . . gju gju mögen sämmt- 



1) C. Jordan, a. a. 0., p. 356 flf. 



