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Beide Systeme besitzen nun folgende Eigenschaften : 
1) Liegen die Punete P in einer Geraden, so bilden auch die 
Puncte P’ eine Gerade. 
2) Vier Puncte einer Geraden des vinen Systems haben dasselbe 
Doppelverhältniss wie die vier entsprechenden Puncte des 
andern Systems. 
3) Geraden, die sich in einem Punete schneiden, entsprechen in 
der andern Figur Gerade, die sich in dem, dem ersten 
Punete entsprechenden Puncte schneiden. 
4) Das Doppelverhältniss von vier Geraden des einen Systems 
ist gleich dem Doppelverhältnisse der vier entsprechenden 
Geraden des andern Systems. 
Beweis ad 1). Liegen die Puncte P in einer Geraden, so sind 
©, %, x lineare Functionen einer Veränderlichen, es bilden daher 
auch die Punete P‘, da a’b’c' constante Zahlen sind, eine Gerade. 
Beweis ad 2). Es seien K, L, M, N vier Puncte der ersten 
Ebene 
ER san v x'bB — cc 
IL’ =xaA Hi bB +4.TE6 
mM — "aA + a"bB Iw"cC 
nN = vaA + v’bB + ,"cQ 
Eliminirt man aus diesen Gleichungen aA, bB, cC, dD, 
so erhält man eine Gleichung von der Form: 
»kK+itlL+emM +vıN=0, oder 
‚kK+ılL=e.mM + ,ıN=P, 
wo P den Durchschnittspunct der Geraden KL und MN bedeutet. 
AusP=xkK + IL folgt: 
KP x] 
Pi Tas 
Ein anderer Punct @ der Geraden KL wird zum Ausdrucke 
haben: 
Q=r,kK +, ]1L, also 
Kr e 
Leu daraus folgt: 
