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Zahl-Systemes (mit nicht commutativer Multiplication) in Ver- 
bindung gebracht hätte. Absichtlich sollten aber hier alle weniger 
elementaren Hilfsmittel ausgeschlossen bleiben. 
Sätze über die geometrische Addition von Strecken. 
Sind a, d; dy.... die Längen beliebiger Strecken mit be- 
stimmten Richtungen und bildet man einen polygonalen Linien- 
zug, indem man immer an den Endpunkt einer Strecke die nächste 
mit ihrem Anfangspunkte und ihrer Richtung hinzufüst; so ver- 
steht man unter der geometrischen Summe dieser Strecken die- 
jenige, welche den Anfangspunkt der Polygens mit dem Endpunkte 
verbindet. Ihre Richtung ist die Richtung vom Anfangspunkte zum 
Endpunkt. 
Jede nach Länge und Richtung gegebene Strecke kann als 
Summe beliebig vieler Theilstrecken angesehen werden. 
Eine Strecke von der Länge « und bestimmter Richtung soll 
mit a bezeichnet werden, so dass eine geometrische Summe aus- 
gedrückt wird durch: 
aeatatate 
Die blosse Länge der geometrischen Summe schreiben wir 
‚e,oddea an +; +, +: . 
Von der geometrischen Summe « sind folgende Eigenschaf- 
ten bekannt: 
1) Die Summa « ist commutativ und distributiv. 
2) Ersetzt man ohne die Richtungen zu ändern a, a, a, 
nn durch die proportionalen Werthe ka, ka,ka,..., so ändert auch 
die Summe ihre Richtung nicht und ihre Länge geht über 
in ka. , 
3) Ist j irgend eine Gerade so ist, wenn: 
ı.— 4% ia re 
a c08 (aj) = a, c08 (a,j) + a; 08 (a,)) + a; 608 (a,)j) + 
4) Ist J irgend eine Ebene und « «a, a’, +++ die Projec- 
tionen der yo, und der 'Theilstrecken auf diese Ebene, 
50 ist = a,‘ — Ay‘ —- & -H ..o.. 
5) Die Las der Summenstrecke findet man ausgedrückt 
durch die Theilstrecken in ihre Winkel aus 
a? = Eau + * Am An C08 (dm An). 
