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Gauss’'schen rein analytischen Behandlung sein mag, so glaube 
ich doch, in der nachfolgenden Darstellungsweise auf eine noch 
einfachere, und wie mir scheint, der Natur des Problemes noch 
mehr entsprechende Methode zurückgegangen zu sein, ohne übrigens 
der Allgemeinheit und Strenge Eintrag thun zu müssen. Diese 
Darstellungsweise beruht anf „geometrischen Betrachtungen der 
Lage“, denen leicht die metrischen Beziehungen hinzugefügt wer- 
. den können. Die sämmtlichen Fundamentalpunkte, die älteren so- 
wohl, als auch die vier von Toepler gefundenen, ergeben sich 
fast von selbst, ohne dass man nöthig hätte, auf Beziehungen zu 
reflectiren zwischen Constanten, welche von der Natur des bre- 
chenden Systemes abhängen. 
Ausser den Grundhegriffen und Definitionen wird aus der Geo- 
metrie der Lage nur noch folgender Satz als bekannt vorausgesetzt: 
Haben zwei projecetivische Grundgebilde zwei 
entsprechende Elemente gemeinsam, so liegen sie 
perspectivisch zu einander. 
Da übrigens dieser Satz nur für sehr specielle gegenseitige 
Lagen der Grundgebilde angewendet werden wird, so kann er auch 
leicht ganz entbehrt und durch gewöhnliche geometrische Be- 
trachtungen ersetzt werden. 
Wollte man von den projectivischen Eigenschaften geome- 
trischer Gebilde mehr als diesen Satz herbeiziehen, so liesse sich 
die Theorie natürlich auch viel allgemeiner und erschöpfender durch- 
führen. Gegenwärtig möchte ich aber gerade auf das geringste 
Mass der Hilfsmittel zurückgehen und sie so wählen, dass auch 
solche, denen die Geometrie der Lage fremd ist, die angewandten 
Sätze sich leicht auf anderem Wege begründen können. Ich be- 
halte mir vor, weitere Betrachtungen an einem anderen Orte mit- 
zutheilen; die gegenwärtigen dürften die bisher bekannten Haupt- 
resultate dioptrischer Untersuchungen umfassen, so weit sich letz- 
tere auf ein sehr dünnes, wenig von der Axe abweichendes Strahlen- 
bündel beschränken. 
I: 
Eine einzige brechende Fläche. 
Wir denken uns Fig. I in der Zeichnungsebene eine Gerade 
oder Axe x gezogen. In einem Punkte h derselben errichten wir 
