

15 



Wie diese Tafel zeigt, sind die Coefficienten 5t negativ, 

 sobald n die Zahl 20 übersteigt, und gilt diess um so mehr 

 für e<Cl, als, vermöge 32.), J5„ um so grösser, folglich 5I„ um 

 so kleiner ist, je kleiner e. Ferner zeigt die Tafel, dass die 

 Anfangs-Coefficienten 9fo 51] ... . bis 9t2o? für £ = 1, eine abneh- 

 mende Reihe bilden. Dasselbe gilt, wenn « = 0; denn in diesem 



TT 



Falle ist 5l„ = 4 ^„ + - — r-^ — n'^. welcher Ausdruck, bei wach- 

 2n-\-6 



sendem «, offenbar abnimmt. Es ist sonach, sowohl lür e = 0, als 

 für £==1, so lange n die Zahl 20 nicht übersteigt: 



Oar'i 



oder IK - i?.,^. <|-, («,.-«■■+.) + (2„+3)(2«+ 5-, ' ' ' ^»'^ 

 Aus 32.) ergibt sich aber: 



2.4. . .2n 



3.5. . .(2w-f3) 



ein Werth, welcher, indem e wächst, stätig zunimmt. Die das 

 Abnehmen von 5(„ bedingende Ungleichung 39.) besteht daher 

 für jeden hier zulässigen Werth von e. 



Da nun die Anfangs-Coefficienten bis 5(20 fortwährend ab- 

 nehmen und die übrigen stets negativ sind, kann in der unend- 

 lichen Reihe % + 5t, m ^ + 51^ ^ + 51, m ^ -f • • • 

 auf ein negatives Glied nur ein negatives folgen, und kann 

 eißem positiven kein negatives vorangehen, und hat daher obige 

 Reihe die Form; 



Co -|- C, X -\- C^X'^-] \- Cr-i X ''~^—{Cr X ''-f Cy+l X ''+1 -| ), 



WO sowohl X als sämmtliche c positiv sind. 



Wenn die Summe S einer derartigen convergiorenden Reihe 

 für x = Xi negativ ist, so ist dieselbe auch für jeden grösseren 

 Werth von x, negativ. 



Beweis: Angenommen die Summe S obiger Reihe sei, 

 für x = Xi, negativ, so ist um so mehr, nacli Weglassung von c„, 



c, ./■, -f c^ :/' , ^ -I [- c,_i :r , '-' — (Cr .r, '■ + c, +1 .r, '• + ' H )< 



f 



oder, wenn man mit — multiplizirt: 



■r, 



r c i -\- r c 2 X i -\- r c ^x ^'^ -{-■■■-}- r c ,__i x , '■"'■* - (r CrOc^ '"^ 



-f rC,+ i.t:,'+-)<0, 



