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Es ersclieinen somit die Coefficienten der einzelnen Po- 

 tenzen von 7. als ganze Functionen von a' ; man bezeichnet 

 den Coefficienten von a" mit Pn(.r)^ und nennt ihn die Kwjel- 

 fundion h'^'' Ordnung von x] es ist also 



11 



p„r.; = (-i)»2CrJ,)("v')(2.)"-'' 



v = 



Von der Kugelfunction Pn {x) ist nun eine Anzahl von 



Umformungen bekannt; bemerkenswert ist unter denselben 



die Mehler^sche Formel 



T 

 l r cos (?i + l) 'J/ . cZ J( 



• 2 2 



welches Integral den Wert Fn (cosy) hat. 



Es lässt sich nämlich, nach dem Vorgange Dirivlilefs, 

 zeigen, dass die unendliche Reihe 



OD T 



2'- 



cos {n -|- I) 'i . d ■!/ 



l''^(smX)^-(sml)« V l-2a.<;osY+a 



« = 



ist; da nun, nach der Entstehung der Kugelfunction, auch 

 die unendliche Reihe 



OD 



> a . 7^,1 (cos 7) = -,/ -, — ö — I ~ 



^^ ^ '' y 1 — 2a.cosy+a- 



ist, so muss in der That 



1 / cos {n-\-\)-h.d < l r ^. X 



•• b [■ (sin_I)=-(sin V)^ 



sein. Es ist nun der Zweck dieser Blätter, diese Gleichheit 

 ganz direct nachzuweisen. Zu diesem Ende möge der oben 

 für l\ (cos Y) aufgestellte Ausdruck solange umgeformt wer- 

 den, bis schließlich das Mehhr'sche Integral zu Tage tritt. 

 Man setze zunächst 



Fn (X) = Fn (1 -f (X - 1)) = 



= 2 



(— f)' .Fj'\i) 



P = 



