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Es ist aber hier alles, mit Ausnahme des Mittelgliedes, 

 gleich Null; dadurch erhält man 



(sm .r) . dx = ^^ . -^ . [ ^;) 

 



2?) = 2 ' .-- .y(sin.r) ' . dx . 

 

 Diesen Ausdruck führe man nun in die zuletzt für Pji (cos '{) 

 erhaltene Formel ein; diese geht dadurch über in 



n 71 



Pn {COS 'i)=l-.y^i-lf. (sin^)\^ ('\+/^) . 2'^m.r)':d,- = 

 p = 



''y^ (- 1)'. (sin^- . sin .rff ("+/) . 2 \^^ ./.r. 

 p=0 

 Zur Weiterführung der Integration ist es zweckdienlich, 

 eine neue Integrationsveränderliche 'j; einzuführen, so dass 



sinX . sin x = sin X ist. 



2 sin X . cos x . d x = cos JL . d 'h 



2 ' 2 ' 



cos J_ 



d X = ^ d <\ 



2 sin JT . cos X 



2 



sin" X {1 — cos ^ x) = sin ^ X 



sin X . cos X = |/' (sinX)^^(siniL) ^ 



wobei die Quadratwurzel positiv ist, da sowohl sin X als auch 

 cos X positiv sind. 



Auf diese Art geht die Kugelfunction über in 



1 /-' COS _±^ . d 'If ^_, . „ r r , < or 



p.,^eon) = |y. ; ^.. •Vrsint)--(-i/.('H;0.2-^ 



"5 ^Z (smJ)2-(smX)-^-^Q 



Es erübrigt nunmehr nur noch die Berechnung der Summe 

 n 



&.= >; (sin .;■'•'(- !)•' ("2+'') ä'' 

 s = 



