Convergenz der Kugelfunction-Reihen. 



Von Prof. Dr. J. Frischauf. 



Die voUkümmene Strenge des berühmten Dirichlet'schen 

 Convergenz-Beweises der Kugelfinictiou-Reihen wird seit 

 mehr als zehn Jahren nicht mehr anerkannt. Wenngleich 

 durch die Arbeiten von U. Diu/, FI. Bruiis mid K. Heine die 

 UnvoUkommenheiten dieses Beweises beseitiget wurden, so 

 dürfte dennoch eine vollständige Darstellung dieses Beweises 

 mit Benützung aller bis jetzt gewonnenen Vereinfachungen 

 der einzelnen Theile nicht ohne Interesse sein.^) 



1. 



Setzt man in dem Ausdrucke 



4- = -y — „ ^ ^ = Po + Pl a + . . + Pu rj.'' + . ., 



T y 1 — 2a cos Y + a- ' ' ' ' ' 



welcher den Ausgang für die Theorie der Kugelfunctionen 

 bildet, 7. ^ e'-i^ = cos <\ -\- i sin '];, so wird 



1 4- 7.2 = a (a 4- ^ ) = 2 a cos ']., 



T' = 2 (cos 'L — cos 'i) 7. 'T> < 7 



= — 2 (cos Y — cos ']>) 7 'l > Y 



— 1 = 6-'^^ 



1 COS ^ 'h — i sin }j A 



T y 2 (cos «i — cos y) 



1 sin ^ 'i + i cos I A 



^ y 2 (cos y — cos i) 





') Hinsichtlich der Geschichte der Convergenz-Beweise für die 

 Ivugelfunction-Reihen mag auf das bekannte „Handljuch der Kugelfunc- 

 tionen" von JE. Heine hingewiesen werden. 



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