. ,, , . 2 /- sin (n + i) A dh 



4. Fn (COS y) = — / ,, - ^-^^^^^^ ^^ 

 ^ ~ -^ |/ 2 (cos y — cos ■h) 



J^ / • sin (n 4- ^) >|y d 6 1^ r sin {n + i) ■} rf']/ 



r. / "jAsinitl^^ sin J y^ " -^ "jAsin J (y + ■}) sin i (J' — y) ' 



welche Formeln auch für >i =■ giltig sind.^) 



Setzt man in 4. 7 = 7: — 0, (|; =^ ;t — tp, so erhält man 







.1/ r^ / X (— 1)" /" cos (n + A) 9 eZm 



4'. Pji (cos 7) = ^ ' V ^ 2; r r 



Ti: ^ /sin 1 (0 + cp) sin 1 (5 — 9) 



Die vorstehende Ableitung der Formeln 1. bis 4. ist 

 nicht strenge, da die Entwicklung von 1 : T nur für a <^ 1 

 convergent ist. Es lässt sich aber die Richtigkeit dieser For- 

 meln ohne Schwierigkeit directe beweisen. Es genügt hierzu 

 der Beweis für die Formel 3. Dieses geschieht durch Sum- 

 mierung der Reihe 



Ä = Po -I- Pi a + . . -f P„ a'^ + . ., 

 wo Pn = Pn (cos 7) durcli die Gleichung 3. gegeben ist, und 

 7. einen echten Bruch bedeutet. Es ist 



T 



r, /" d'!j 



TT »J 



■^ Y sin -^ y^ — sin i -P 

 (cos J '}> -f- a cos t ']> + .. + 'j" cos (» + i) 'P ~h • •)' 

 Die in S vorkommende Reihe 

 R = cos i '{; -|- a cos f ']> 4- . . -■[- a'* cos (^« -j- ,}) 'I; -j- 

 wird durch Anwendung von 



2 cos X = e ■"'* -[- e ~ •'^*, 

 als die Summe zweier geometrischer Reihen 



O f? -— ^ '' ' _1 e -' ' 2 (1 — g) cos ^ i 



" ii T" -, — 'Vi 1 — 2 a cos 6 + a= 



1 — a e ' 1 — ae • '' 



bestimmt; damit wird 



Y 



1 — a /~ cos i 1 cZi 1 



= ^/ 



r^ y sin i y^ — sin ^ ■!/= 1 — 2 a cos i + a- 



') Die beiden Formeln 3. und 4. wurden von Mehler („Math. Ann." 

 Bd. V) aufgestellt. 



