6^ 



Setzt man 



sin }, '\) = sin i 7 sin 's , 



so Avird j^ 



2 



2 (1 - a) /- dj 1 



~ O ^'^ ~ ^^' + '^°' ^"^ ^ '"'" ^"^ '^' }'' 1 — 2 a cos Y + «" ' 



Setzt man in 6' statt a und 7 resp. — a und - — 7, so 

 bleibt die ganze Rechnung ungeändert, und man erhält damit 

 die Begründung der Formel 4'. 



2. 



Ans den Formeln 3. und 4'. erhält man den AVert von 

 Pn (cos 7), wenn ;< = 00 ist, 



1) Ist 7 endlich, dabei 7 <C \ ~. 



Man zerlege das Integral von bis 7 in Formel 3. in 

 die zwei Theile von bis 7 — 3 und von 7 — -. bis 7, wo 

 unabhängig von n die Gröi3e = beliebig klein, m mit '\i un- 

 endlich groiB vorausgesetzt wird. Dann ist das erste Integral 



[wegen 



h 



/fix) cos kx dx =^ 0, für A; = 00, 



a 



wenn f{x) im Intervalle von a bis /; endlich bleibt^)] gleich 

 Null. Das zweite Integral geht, 7 — '{^ = 'Q gesetzt, ülier in 



j^ __ 1 / -cos (n + ^) (y - r^) cZr, 

 ~ ^ y sin (y — h ft) sin h r, 



Wendet man auf dieses Integral den „Du Bois'schen Satz'' 

 b b b 



ff{x) 'f{x) dx = f{a)/'f{.i:} dx 4- [f{h) — f{a))/t^{x) dx 



a a ^ 



(; bedeutet einen unbestimmten zwischen a und b liegenden 



Wert, das Integral 



b 



J ^ix) dx 

 muss für alle Werte von ;; = ^/ bis ^ ^= h stetig, die Func- 



'j Folgt unmittelbar aus dem „Du Bois'scheu Satze". 



