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die im Intervalle a?« bis awi -|- i stattfindende Schwankung 

 der Function F ({)•). 



Ist F (0-) im Intervalle von bis iz abtlieilungsweise 

 stetig und besitzt diese Function in diesem Intervalle nur 

 eine endliche Anzahl von Maxiraa und Minima, so sind die 



V 



Beträge von / für die Sprungstellen von F (W) verschwindend, 



für das Stetigkeits-Gebiet ist die Summe aller F (y.m -f- a) — 

 — F (ßm -]- '.) kleiner als die Summe A aller Schwankungen 

 der Function F {i}) von F (0) bis F (tt), d. i. der Summe der 

 Änderungen der Werte von F (0) bis zum nächsten Maximum 

 oder Minimum, von diesem Maximum oder Minimum zum 

 nächsten Minimum oder Maximum, u. s. w. bis zum Werte F (k). 

 Setzt man außerdem statt der abwechselnd positiven 

 und negativen (oder negativen und positiven) Werte /^»«(cosßm) 

 den absolut 



y 



i, 



größten Pn (cos ß), so wirdy von der Form A Pn (cos ß), wel- 



eher Ausdruck gleich Null wird, wenn n unendlich groi3 wird. 

 Es ist daher r, - 



ö r 

 Ist die Function F (i>j im Intervalle von i> — bis {)• = tj 

 stetig wachsend oder stetig abnehmend , so ist nach dem 

 „Du Bois'schen Satze" 



h h h 



ff{x) 'S ix) cLx = f{a)f't ix) d X -f {f ih) — f{a))/'s [x) dx, 



f= F (0) (Pn (cos rj) — Pn (cos 0)) 

 



+ [F (-/]) - F (0)) . (Pn cos -/] — Pn (cos £)). 



Für » = (X), wird Pn (cos tj) = 0, F [-(^ — 7^'(0) = 0; also 

 /= - ^' (0). 



