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Ist die Function F (»>) im Intervalle von \\ = l bis «)• = Ti 

 stetig wachsend oder stetig abnehmend, so ist analog mit 

 dem Vorigen :: 



/={-irF{i:). 



Y 



Es ist daher j,^ = _ ^ (0) -f (— l)" F {■£). 

 Ebenso erhält man 



Jn^X = -F (0) + (_ 1) « + 1 i^ (;.), 



also Ä = F (0). 



Zusatz. Wie man aus dem Vorhergehenden ersieht, 

 genügt es bei der Auswertung von Sn statt von x)-' rr^ bis 

 i)' = Tl nur von bis rj zu integrieren. Es ist daher diese 

 Bestimmung ganz analog mit der der Fourier'schen Reihen. 



Der allgemeine Fall kann auf diesen speciellen (wo 

 {)■ = Oj leicht zurückgeführt werden. 



Dies geschieht entweder durch eine Coordinaten-Trans- 

 formation, oder directe (nach DiricJilet) durch die Betrachtung 

 der Bedeutung des allgemeinen Gliedes Xn. Das Doppel- 

 Integral Xn unterscheidet sich nur durch den Factor Pn (cos w), 

 d. i. statt des Abstandes des Punktes M' von N wird der 

 Abstand M' M des Punktes M' von dem festen Punkt M ge- 

 nommen; d. h. statt des Punktes N erscheint der Punkt M 

 als Anfang. Die Summe der Reihe S ist daher der Mittel- 

 wert aller Functionswerte im Umfange eines um den Punkt 

 fö-, 'f) mit unendlich kleinem Radius beschriebenen Kreises. 

 Ist die Function f (^^, 's) um diesen Punkt herum eindeutig, 

 so stellt die Summe S diesen Functionswert /'(O', z) selbst dar. 



Beispiel. Auf der Kugelfläche sei ein gTöJiter Kreis 

 als Theilungslinie gezogen, auf der einen Hälfte der Kugel- 

 fläche sei der Functionswert a, auf der anderen Hälfte der 

 Functionswert h aufgetragen. Liegt die um den Punkt M mit 

 dem Radius ö' beschriebene Kreislinie vollständig auf der 

 ersten Hälfte, so ist F (0') ^= a^ u. s. w. Liegt aber diese Kreis- 

 linie theils auf der einen, theils auf der anderen Hälfte, so 

 wird F (yY) auf die folgende Art bestimmt. Liegt M auf der 

 Hälfte mit den Functionswerten a , ist 7 der Winkel der 



