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2) 7 wird mit n unendlich klein, ii -; unendlich groi], d.h. 



j 1 / 1 r cos u du ^, /' cos u du \ 



also J = 0, endlich oder oo, je nachdem 



1 >, = oder <^ a (1 -}- a) ist. 



3) WY = i)- endlich. 



j- 1 /* cos M d?t 



4j ;« Y unendlich klein. 



T 



Die Grenzen von ./ nach dem Mittelwert-Satz sind 



-^ und - . 



1 — « 2''(1 — a) 



Das zweite Integral wird ganz analog behandelt; der be- 

 kannte Fall a = 1 und y endlich, für welchen dieses letztere 

 Integral noch existiert, kann hier übergangen werden. 



Für groi3e Werte von n hat Pn (cos y) die Form 

 A : /wsiny, WO Ä endlich ist. Die «-Wurzeln von Pn (cos y) 

 sind reell, zu jeder Wurzel y gehört eine zweite tc — y? für 

 große Werte von n haben je zwei aufeinander folgende Wur- 

 zeln den Unterschied nahezu tt : n, d. h. die Wurzeln sind im 

 Intervalle bis tt gleichmäßig vertheilt.^) Es erhellet dies aus 

 nachfolgender Betrachtung. Ist ?i ■( und n (jz — y) unendlich 

 mit «, so folgt aus 



T, ( / I ^ \\ 1 /" cos(n -I- i) J/d'i 



Pn (cos (Y + --)) = -Vit— 



wenn >\) = t/ -\ — — gesetzt wird, 



*) Beweise dieses Satzes haben U. IHni und H. Bruns gegeben. 



