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— ^ \ sxni(T + 2/+~)sm»(Y — 2/) 



Zerlegt man das Integral in die beiden Theile von 

 — -K : n bis und von bis y, so wird ersterer (bei Vernach- 

 lässigung der kleinen Glieder im Nenner) tu : 2 n (n -[- 5) sin i 7, 

 während der zweite sich bis auf Glieder von der Ordnung 

 1 : ti ''i auf ;r Pn (cos 7) reduciert, es ist daher 



Pn (cos (V+ ;;-))=- PWCOS Y) + ^ 



3 ! 



n 2 



WO B endlich ist. Es wechselt daher Pn (cos 7) das Zeichen, 

 wenn y um tt : n geändert wird. Ist Pn (cos y) = , so ist 

 daher auch (mit Vernachlässigung der kleinen Glieder höherer 

 Ordnung) Pn (cos (y -f -'^)) = 0. 



Für die auf das Intervall bis r^ (und C bis ;:) fallenden 

 Wurzeln ist die Vertheilung aus der Theorie der Bessel'schen 

 Functionen bekannt. Auf einfache Weise erfolgt dies durch 

 Zerlegung von * 



J/j^x 2 /" cos CO CZCB 



6 y ^' - ?' 



in Theile mit de^i Intervalle -^. 



Setzt man ^ j^ 



7 1 1,2 /" ^ cos » cZcs 



J,. = absolut — / ' = , 



so folgt (wegen der Gleichheit der Zähler cos cp und der ab- 

 nehmenden Nenner y^^'^— cp'^ 



Jr <Z. 'Jr -\- 1 • 



Für \y = ^^- -\- mi:^ wird 



./(d) = Ji _ J2 — /3 -f J4 -f J5 _ ; 



woraus folgt, dass 

 J (-^) positiv, J {^ -\- tt) negativ, J (^ -j- 2 tu) positiv, 



u. s. w. ; d. h. zwischen t> = ^ -\- m tt und d- = -^- -\- {m -\- 1) :i 

 liegt eine Wurzel von J {^)' 



