Zur Theorie der Kugelfunclionen. 



Von Prof. Dr. J. Frischauf. 



Die Ableitung der Dirichlefschen Ausdrücke für die Kugel- 

 function Pn (cos 7) geschieht, wie in Art. 1. meines Auf- 

 satzes „Convergenz der Kugelfunction-Reihen" auseinander- 

 gesetzt wurde, derart, dass in der Entwicklung von 1 : T, wo 

 ursprünglich absolut a < 1 ist, a = eV* gesetzt wird und die 

 erhaltenen Ausdrücke von Pn dann nachträglich (analog wie 

 die Mehler'schen Formeln) strenge begründet werden. Anläss- 

 lich dieser Begründung bemerkt Dirichlet in seiner berühmten 

 Abhandlung ^) : „Le procede qui vient de nous conduire ä 

 cette double expression de Pn, n'est pas rigoureux en ce que 

 nous n'avons pas demontre que les series G ei H sont con- 

 vergentes. Cette convergence a effectivement Heu, le cas 

 excepte oü ']; = y? pour lequel les functions de '|i que ces series 

 representent, deviennent infinies. Mais comme la consideration 

 de ces series exigerait trop de details, nous ne nous y arre- 

 terons pas . . ." Dazu muss jedoch bemerkt werden, dass die 

 Reihen G und H (']; = y ausgenommen), wie aus der Theorie 

 der Sinus- und Cosinus-Reihen bekannt ist, convergent sind, 

 wenn statt Pn in ersterer der Ausdruck 1., in letzterer der 

 Ausdruck 2. gesetzt wird, und ihre Summen wirklich die als 

 G und H bezeichneten Functionen liefern. Aber außer diesem 

 muss noch zur Vervollständigung des directen Beweises die 

 Gleichheit der beiden Werte 1. und 2. von Pn nachgewiesen 

 werden, oder es muss bewiesen werden, dass die Reihe i/, 

 wenn in ihr statt Pn der Ausdruck 1. gesetzt wird, wirklich 

 die obige Function H liefert. 



') „Sur les series dont le terme general depeiid de deux augles, 

 et qui servent ä exprimer des functions arbitraires entre des limites 

 donnees." Grelle Journal, Bd. 17, 1837. 



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