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Da die Entwicklung von G in die Cosinus-Eeihe auch 

 für (]; = und ']; = tt giltig ist und die Function Ä" für tj; = 

 und >\ = t: Null wird, so ist die Entwicklung von 



V T^ -n--^ ^ =r- = Po + Pi a + P2 a^ + . . 



y 1 — 2 a cos y + a^ ' ' ' 



auch für a = e]'»" ('{; = y ausgenommen) giltig. 



Zusatz. Setzt man in A sin o = sin ((w -f- 1) 5 — wo) , 

 so erhält man 



, • 5> COS (n + 1) J/ — cos (n + 1) 

 .^ = sm no -!^ — — M 1 ^ ' — 



/ I 1N ^ cos ntL — cos «8 



sm in -\- 1) \ ,;; — . 



^ ' ' cos iL — r.os ö 



cos ^ ^ d^ 



]A2 (cos'} — cos y) 

 sin ^'^^^ 



1^2 (cosy — cosij/) 



E^ ' 



— sm 



y 2 (cos S — cos y) ' 



cos \ 

 y 2 (cos y — cos o) 



Anmerkung. Die sti'eng begründete Theorie der Fourier'sclien 

 Reihen vorausgesetzt, ist vorstehende directe Begründung der Dirichlet- 

 schen Ausdrücke kürzer und einfacher als das Verfahren Dirichlets zur 

 nachträglichen Begründung, Avährend letzteres die heuristisch gewonne- 

 nen Ausdrücke als Kugelfunction Pn (cos y) begründet, woraus die Giltig- 

 keit der Entwicklung 1 : T für a = eV* nur dann folgt, wenn noch nach- 

 gewiesen wird, dass die Reihen O und ^, statt Pn (cos y) in ersterer der 

 Ausdruck 1. in letzterer den Ausdruck 2. gesetzt, convergent sind, und 

 dabei deren Summen mit den Functionen G und H identisch sind — 

 welcher Nachweis mit der streng begründeten Theorie der Fourier'schen 

 Reihen identisch ist. 



