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reellen Bogen. Ueberhaupt gelten zwischen sin (>x V^ — 1) und 

 cos (a V — i) die nämlichen Kelationen, welche zwischen sin a und 

 cos « Statt haben. Der Grund davon liegt darin, dass cos (-^ V — i) 

 und sin (« V— 1), obiger Darstellung gemäss, als blosse Symbole 

 jener Keihen zu betrachten sind, welche man aus 1.) erhält, wenn 

 man « mit a V — i vertauscht. Ein Beispiel wird genügen, dies 

 klar zu machen. 



Um zu beweisen, dass 



cos [(^^ + ß) V^^] = 

 = cos ('■^ V— l) cos (ß V — i) + sin (a V^^l) sin (ß V— T), 

 gehe man von der Gleichung 



cos « cos ß + sin a sin ß = cos (« + ß) 

 aus, welche, indem man anstatt cos a^ sin r,. etc., die diesen Aus- 

 drücken äquivalenten Keihen setzt, auch so geschrieben werden kann : 



ja ± ß)^ _ 

 ■^2.3.4 ■ * ■ ■ 



Diese Gleichung kann als eine identische betrachtet werden, 

 weil die darin vorkommenden Eeihen, für jeden Werth von « und 

 ß konvergiren. Die Gleichung wird daher durch Vertauschung von 

 a und ß mit o. V ~ 1 und ß V — 1 nicht gestört. Dadurch aber 

 verwandelt sie sich in die zu erweisende Gleichung 

 cos (r/ V— 1) cos (ß V— 1) + sin {a V — 1) sin (ß V"^^) 

 = cos (a + ß) V — 1 . . 3.) 

 Auf diesem Wege lassen sich alle zwischen den trigono- 

 metrischen Funktionen reeller Bogen bestehenden Relationen auch 

 auf imaginäre Bogen von der Form a V — 1 ausdehnen. 



Setzt man ß ^= «, so folgt aus 3.): 

 cos (« V— If + sin (a V— 1)^ =1 4.) 



sin (a \/"=~T) = + X/^ 1 — cos (« V^^IY 1 



^ \ 5.) 



cos (a V"^^) = + V/'i - sin (a \'~^f ) 



Bezeichnet man den Bruch — ^ — == durch ig {" \ — Di 



cos {<j. V — i) 



