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cos (K=n: . lÄ) = x = -^{ä-j- ^) 



sin (KI— 1 .lÄ) = y K=ri = I. (^ _ 1) \ u.) 



tg (K— r. lA) = . K— 1 = ^l=i. KITT 

 Die letzten Gleichungen sind mit den folgenden identisch: 



7 . ^ A^ + 1 



i^ == arc cos — 7^—. — 



K — 1 2 J. 



U = p= arc siB ^-^i-V— 1 \ 15.) 



1 A^ — i 



Es ist klar, dass man, mittelst der Gleichungen 8) und 

 15.\ indem man die darin vorkommenden imaginären Bogen nach 

 9.) entwickelt, Reihen für die Logarithmen erhalten kann. Auf 

 diesem Wege folgt aus 8.) die bekannte Formel: 



1 -(-^ d . z 



und aus 15.): 



,, _ ^^ - 1 , 1 j A^ - l y , i_ j A^ - W , 



^^ ~ jy+T "^ 3 U^ + 1^ "^ 5 U^ + 1' "^ • ■ • • ' 



Indem man in dieser Gleichung J.'^ = a setzt, wodurch lA 

 = -^la wird, ergibt sich die bekannte Gleichung: 



=^[^i+4(:-fl)'+---]- 



la 



Durch das Vorhergehende ist der Zusammenhang zwischen 

 den Logarithmen und imaginären Kreisbogen, und dadurch die 

 analytische Bedeutung dieser Bogen und ihrer trigonometrischen 

 Funktionen zur Genüge beleuchtet. 



Um auch eine geometrische Beziehung zwischen dem ima- 

 ginären Bogen und dessen Sinus und Cosinus aufzufinden , geht 

 man am besten von der mit 4.) identischen Gleichung 



x^ —y^ = l 16.) 



