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aus, welche, wenn mau x und y als rechtwinkelige Coordinaten 

 betrachtet, zu einer gleichseitigen Hyperbel gehört, deren Halb- 

 axen der Längeneinheit gleich sind , und deren Mittelpunkt mit 

 dem Anfangspunkte der Coordinaten zusammenfällt. 



Es sei nun r der Radiusvector des Punktes x,y und -0- der 

 Winkel , welchen derselbe mit der Axe der x bildet, so ist x = 

 =;= r cos 0, 2/ = ^ sin -0-. Durch Substitution dieser Werthe in 16. 

 ergibt sich die Polargleichung r^ cos 2 -0- = 1 17.), 



woraus -75; = ^ tg 2-0-. Für das Hyperbelelement ds hat man daher 



ds=dß-y r- + ^^rrf- = — — - . . 18.) 



^ f ' «^•0- COS2-0- 



Aber nach 2.) ist 



X = cos (« ]/^— I r= r cos •0- 



y y^^^ = sin (a y^^) = KlTi. r sin -0-, 



tg {a y-^'^^l) = K=:i. fg -0. , 

 a KZTl = arc tg (V^ITi. ^^ 0), 



oder.^. = ^Ä = ^fi ^_^_..19.) 



cos-0-^(l-f^0.2) cos 0-^- sin -0-= cos -0-2 



Aus 18.) und 19.) folgt nun 



dr, = ^, folglich a = f-^ 20.) 



Die Integration ist entweder von bis -0 oder von 1 bis r 

 auszudehnen, je nachdem die Differentialformel — als eine Funk- 

 tion von -0- oder vou r dargestellt wird. 



Aus 20.) ergibt sich für die Grösse « folgende geometrische 

 Bedeutung : c, ist gleich der Summe aller jener Brüche , welche 

 man erhält , indem man den zwischen dem Scheitel und dem 

 Punkte (x y) enthaltenen Hyperbelbogen in Elemente theilt, und 

 jedes Element durch den dazugehörigen Radiusvector dividirt. Es 

 folgt hieraus, dass der numerische Werth von v. stets zwischen 



g 

 s und — enthalten ist, wenn man jenen Bogen durch .s bezeichnet. 



