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Eine ähnliche geometrische Beziehuog , wie soeben für die 

 Grössen ^/, a:, y gefunden wurde, besteht auch zwischen einem reellen 

 Bogen und dessen Sinus und Cosinus. Denn , betrachtet man 

 cos a = : und siu '>. = Y, als rechtwinkelige Coordiuaten, und be- 

 zeichnet man das Element der durch die Gleichung ^' -f- yj- = 1 

 ausgedrückten Kreislinie durch cU^ den dazugehörigen Radiusvector 



I'r- 



durch , so ist auch hier « = / — -^ nur mit dem Unterschiede, 



J '' 



dass hier o konstant und gleich 1 ist. Diese Analogie in Verbin- 

 duug mit dem Umstände, dass im Kreise die Normale dem Halb- 

 messer gleich ist, liess mich vermuthen, dass auch in der gleich- 

 seitigen Hyperbel zwischen der Normalen und dem auf den Mittel- 

 punkt bezogenen Radiusvector ein sehr einfaches Verhältniss 

 statufinden dürfte- Ich fand in der That, dass dieser Radiusvector 

 der auf die konjugirte Axe bezogenen Normalen gleich ist, was 

 leicht auf folgende Art gezeigt werden kann: 



Aus 16.) folgt -7- = -^ z= . 



° dy X X 



Bezeichnet man nun das zwischen der Hyperbel und der 

 konjugirten Axe enthaltene Stück der Normalen durch iV, so ist 



r dy 



Aber aus 16.) folgt auch 



T z=z y"x^ + yi = V2 x' — 1 , 



y' j 



O A Ä f*^lglich N = r, w. z. b. r. 



Hieraus ergibt sich eine sehr einfache Construction der Nor- 

 malen eines beliebigen Punktes in der gleichseitigen Hyperbel, 

 wenn deren Mittelpunkt nebst den Axenrichtuagen gegeben 

 ist. Denn, beschreibt man aus m mit dem Halbmesser Om einen 

 Kreisbogen, welcher die konjugirte Axe in n schneidet, so ist mn 

 die gesuchte Normale. 



Um die Abhängigkeit des imaginären Bogens von seinem 

 Cosinus und Sinus graphisch darzustellen , kann man da als das 

 Flächendifferential einer von einer Kurve begrenzten ebenen Figur 

 betrachten. Nach dem Vorhergehenden ist 



