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Material von einigem Umfange geschaffen sein dürfte, so ist doch 

 von der Giltigkeit meiner Keihen eine noch grössere Allgemeinheit 

 zu vermuthen. In solchen Fällen nämlich, in welchen die in Fol- 

 gendem mitgetheilte Ableitung nicht mehr ausreicht, ist dennoch 

 die Zulässigkeit der erweiterten periodischen Keihen im Allgemeinen 

 nicht ausgeschlossen, wie die Untersuchung an bestimmten Bei- 

 spielen zeigt. Es bleibt also noch ein weites Feld zur Bear- 

 beitung offen. 



Ich habe mich nichtsdestoweniger zur Veröffentlichung der 

 Resultate in ihrer jetzigen Form entschlossen, da ich glaube, die 

 weitere Determination des Gegenstandes den Fachmathematikern 

 überlassen zu dürfen. Für den mathematischen Leser sei bemerkt, 

 dass in den Paragraphen 2, 3, 6 und 7 das Wesentlichste zu 

 finden ist. Auch glaube ich in der Darstellung, wenngleich diese 

 für einen grösseren Leserkreis bestimmt wurde, den Anforderungen 

 der Strenge in dem Masse Rechnung getragen zu haben , wie es 

 zur Orientirung des Fachlesers nöthig ist. Sollte meine Mittheilung 

 zu weiteren Untersuchungen auf einem, wie ich glaube, dankbaren 

 Gebiete anregen, so hat dieselbe ihren Zweck erfüllt. 



Wir verstehen in Folgendem unter periodischen Functionen 

 im weiteren Sinne solche Functionen, deren Werthe beim Wachsen 

 der unabhängig Veränderlichen in bestimmten, gleichen Intervallen 

 wiederkehren. Die Betrachtung wird wesentlich vereinfacht, wenn 

 wir zunächst mit solchen Fällen beginnen , in denen der Verlauf 

 der Functionen innerhalb eines Intervalles durch gewisse Bedin- 

 gungen eingeschränkt ist. Es ist dann leicht, auch die allgemeineren 

 Resultate zu überblicken. 



Wir betrachten zunächst die bekannte periodische Function 



(l) 2/ = «1 sin a; + «2 sin 2 ä; + . . . + «a sin w ;r -f 



in welcher a, «g etc. coustante Zahlenwerthe bedeuten und die 

 Bogenwerthe unter dem sinus-Zeichen nach ganzen Vielfachen von 

 X fortschreiten. Da sin w (a; 4- 2 tt) = sin n x, so kehren dieselben 

 Werthe der Reihe wieder, wenn x um je 2 n wächst. Die Function 

 ist periodisch mit dem Intervall 2-n, 



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