Man sieht also, dass durch obige Functionsbezeichnung die 

 verlangte Periodicität dargestellt werden kann. Wir werden daher 

 von derselben an geeigneter Stelle Gebrauch machen. Die Hilfs- 

 grösse ? ist dabei selbst wieder eine Function von x, deren Werth 

 sprungweise je um eine Einheit wächst , während x die Werthe 

 7r(2Ä;-|-l) überschreitet, unter h alle ganzen Zahlen verstanden. 



Bei dieser Darstellungsweise ergibt sich im Allgemeinen 

 eine Zweideutigkeit an den Stellen x = 0, + n, +2n....^]cn, 

 wie schon aus der Figur zu ersehen ist. Wir treflFen die Bestim- 

 mung, dass hier stets der Mittelwerth Null zwischen den beiden 

 entgegengesetzten Ordiuaten zu verstehen sei. Auch kann f{x) so 

 beschaffen sein , dass innerhalb der Strecke bis n eine oder 

 mehrere Sprungstellen vorkommen , so dass zu einer Abscisse je 

 2 Ordinatenwerthe gegeben sind. Hier ist auch stets das arith- 

 metische Mittel zu nehmen. Wir wollen, um jedem Missverständniss 

 vorzubeugen, uns kurz so ausdrücken, dass für alle Werthe des 

 X von — CO bis -+- CO die Gleichung erfüllt sein müsse 



+ f [ + (ic — t 2 TT)] = «1 sin a: + «2 sin 2 a; + , 



wodurch jeder Zweifel an zweideutigen Stellen behoben ist, denn 

 die Keihe gibt an den Sprungstellen bekanntlich das arithmetische 

 Mittel aus beiden Ordinateu und es wird sich zeigen, dass unter 

 dieser Voraussetzung die Betrachtungen der folgenden Paragraphen 

 auch für Unstetigkeitsstellen ihre Giltigkeit behalten. 



§2. 



Wir wollen nun untersuchen, ob sich eine Function, welche 

 die im vorigen Abschnitt vorausgesetzten periodischen Eigenschaften 

 besitzt, benutzen lässt, um nach ihr andere Functionen in einer 

 analogen Weise in Reihen zu entwickeln , wie es nach Fourier 

 durch die sinus ganzer Vielfacher von x geschieht. 



Es sei also eine beliebige zweite Function gegeben, welche 

 zwischen den Gränzen x = und x r=. n dargestellt werde durch 



(4) F (x) = «1 sin X + «g sin 2 ^ + a^ sin 3 a; + 

 wo also 



= — I F{x) sin nx.dx ist. 



«a = — h 



