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Es fragt sich, ob nicht eine ähnliche Eeihenentwictelung 

 für F {x) möglich sei, in welcher wir an Stelle des sinus die com- 

 plicirtere Function treten lassen, deren allgemeiner Ausdruck durch 

 Gleichung (1) gegeben ist. Wir führen in diese einen veränder- 

 lichen Parameter m ein uud schreiben 



(5) ym = «1 sin mx -\- ot.2 sin 2mx -f «., sin 3ma: + . . . 



Lassen wir nun m die Reihe der ganzen Zahlen durchlaufen, 

 so erhalten wir eine unendliche Eeihe von solchen y. Jedes der- 

 selben multipliciren wir mit einem unbestimmten Coeificienteu A 

 und setzen die Summe aller Glieder ■== F{x). Es folgt, indem wir 

 die Summanden mit gleichen Bogenwerthen in den sinus unter- 

 einander schreiben: 



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' Ai yi= Äi [^^1 sin x + ''h sin 2a; + ^'3 sin Bx + «4 sin 4x + «5 sin 5x + . 



iJ.2i/2= J.2 [^-«i sin 2a; + «2 sin 4a; + 



1^3 2/3= ^3 [r/, sin 3a; + 



1^4 2/4 = Ai [«, sin 4a; + 



Ä^ys = ul5[a, sin5a;-|- . 



iF{x) = Äi «j sin X H- {Äi tx-, + 7I2 «1 ) sin 2x + 

 7 j 4- ( J.1 «3 + Äi «1 ) sin 3a; -f- (^^ «4 + At or,^ -f- J.4 «j ) sin 4 ic 4- 

 ( 4- ( J-i «5 + J.5 «1 ) sin 5:r 4- . . . 



Diese Eeihe, welche wieder nach den sinus ganzer Vielfacher 

 von X fortschreitet, wird identisch mit der Eeihe (4) für F{x), 

 wenn wir die Coefficienten gliedweise gleichsetzen und daraus die 

 Werthe der unbekannten A berechnen. Es ist zu bemerken, dass 

 bei der benutzten Additionsweise die Eeihenfolge der Glieder, 

 welche ein und demselben y angehören, nicht geändert wurde. 



Zur Bestimmung der A hat man also die Bedingungs- 

 gleichungen : 



«1 = A^ a.1 



«2 = J-i ag 4- A^ «1 



«3 = ^, «3 + ^3 «1 



(8) I ^4 = ^J «4 + ^2 «2 + ^4 «1 

 «5 = ^i «5 + A «1 

 «6 = A «6 + ^2 «3 + A ^2 + ^6 «1 



. a]2 = ^iaj2 + ^2a6 +^3^4 + ^4«3 + ^«2 + -^isai 

 u. s. w. 



