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Wie man sofort erkennt, so sind die zu suchenden Coeffi- 

 cienten durch diese Gleichungen vollkommen (eindeutig) bestimmt. 

 Die Bedingungsgleichung für Am z. B. ist unmittelbar gegeben, 

 indem man am gleichsetzt der Summe sämmtlicher Producte, 

 welche sich bilden lassen aus je einem Ä und einem a, deren 

 Indices multiplicirt m geben, wobei m und 1 selbst mitzurechnen 

 sind. Sind die dem Ä^a vorausgehenden Coefficienten bestimmt, 

 so ergibt sich unmittelbar J.m. 



Schreiben wir die unter (6) summirten y in der Keihenfolge 

 der Verticalcolumne, so haben wir 



(9) F(x) = 4, 2/1 + ^2 2/2 + ^3 2/j + 



Diese Keihe gilt nur zwischen den Gränzen x == und 

 X = TT*), da ja die Keihe (4), welche mit (7) gleichgesetzt wurde, 

 nur zwischen diesen Gränzen allgemein giltig ist. Für x = und 

 X = n gibt die Reihe den Werth Null, da hier alle y verschwinden. 



Wenn nun der Fall vorliegt, dass das y unserer Entwickelung 

 einer bestimmten gegebenen Function f{x) zwischen x = und 

 X = n nach Gleichung (2) entspricht , so lässt sich die durch 

 Gleichung (3) dargestellte periodische Functionsbezeichnung anstatt 

 der y in Reihe (9) einführen. Man hat nur zu schreiben 



Vm = ±f[± i'^nx — ?m 27r)] 



wo nun m die ganzen Zahlen durchläuft und ^^ immer diejenige 



ganze Zahl bedeutet , welche dem Werthe -t: — am nächsten liegt, 



und wobei die oberen oder unteren Zeichen zu gelten haben, je 



nachdem -^— ^ e^ ist. Graphisch dargestellt bedeutet auch dieser 



Ausdruck eine Curve von dem Ansehen der Fig. 1, nur hat man 

 sich diese in der Richtung der Xachse im Verhältniss m : 1 ge- 

 wissermassen zusammengedrückt zu denken, so dass alle Ordinaten, 

 welche in Fig. 1 auf den Strecken von je 27r vorkommen, nun- 



*) Die obige Herleitung ist nicht allgemein zulässig, denn der Schritt 

 von der Keihenform (7) zur Form (9) enthält eine Vertauschung der Summa- 

 tionsweise und allerdings wäre erst von Fall zu Fall zu untersuchen, ob 

 Gleichung (9) an Stelle von (7) gesetzt werden darf. Im nächsten Paragraphen 

 werde ich jedoch die Voraussetzungen näher angeben, unter denen die obige 

 Betrachtung jedenfalls strenge Giltigkeit hat. 



